如图1.抛物线l1:y=-x2+2x+3与x轴的正半轴和y轴分别交于点A.B.顶点为C.直线BC交x轴于点D．(1)直接写出点A和C的坐标,(2)把抛物线l1沿直线BC方向平移.使平移后的抛物线l2经过点A.点E为其顶点．求抛物线l2的解析式.并在图1中画出其大致图象.标出点E的位置,在x轴上是否存在点P.使△CEP是直角三角形?若存在.求出点P的坐标,若不存在.请说明理由．(注:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．如图1，抛物线l₁：y=-x²+2x+3与x轴的正半轴和y轴分别交于点A，B，顶点为C，直线BC交x轴于点D．
（1）直接写出点A和C的坐标；
（2）把抛物线l₁沿直线BC方向平移，使平移后的抛物线l₂经过点A，点E为其顶点．求抛物线l₂的解析式，并在图1中画出其大致图象，标出点E的位置；在x轴上是否存在点P，使△CEP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注：该步若要用到备用图，则不要求再画出抛物线l₂的大致图象）

分析（1）令y=0可求得点A的坐标，然后依据配方法和顶点坐标公式可求得抛物线的顶点C的坐标；
（2）先求得点B的坐标，然后再利用待定系数法求得BC的解析式，直线BC的解析式可设E（a，a+3），则l₂的解析式为y=-（x-a）²+a+3，接下来，将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到抛物线l₂的解析式；将∠P₁CE=90°时，先求得CP₁的解析式，从而可求得点P₁的坐标，同理可求得P₂的坐标；如图3所示：以CE为直径作圆G，过点G作GF⊥x轴，垂足为F．先求得FG与CE的长，然后根据d和r的关系可求得圆G与x轴的位置关系，可判断△CP₃E不为直角三角形．

解答解：（1）∵令y=0得：x²-2x-3=0，即（x-3）（x+1）=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标为（3，0）．
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x）+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴点C（1，4）．
（2）设直线CD的解析式为y=kx+b．
∵CD经过点C（1，4）、B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得；$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线CD解析式为y=x+3．
∵抛物线l₂由抛物线l₁沿直线BC方向平移得到，
∴顶点E在直线BC上．
设E（a，a+3），则抛物线l₂的解析式为y=-（x-a）²+a+3．
∵抛物线l₂过点A（3，0），
∴-（3-a）²+a+3=0．解得：a₁=6，a₂=1（舍去）．
∴抛物线l₂的解析式为y=-（x-6）²+9=-x²+12x-27．
抛物线l₂的大致图象如图1所示．

如图2所示：将∠P₁CE=90°时，

设直线CP₁的解析式为y=kx+b．
∵CP₁⊥BC，
∴k=-1．
∴y=-x+b．
∵将点C（1，4）代入得：-1+b=4．解得b=5，
∴直线CP₁的解析式为y=-x+5．
令y=0得；-x+5=0，解得x=5，
∴点P₁的坐标为（5，0）．
设直线EP₂的解析式为y=-x+b．
∵将点E（6，9）代入得：-6+b=9，解得：b=15，
∴直线EP₂的解析式为y=-x+15．
∵令y=0得：-x+15=0，解得：x=15，
∴点P₂的坐标为（15，0）．
如图3所示：以CE为直径作圆G，过点G作GF⊥x轴，垂足为F．

∵C（1，4），E（6，9），
∴G（3.5，6.5）．
∴GF=6.5．
∵由两点间的距离公式可知CE=$\sqrt{（6-1）^{2}+（9-4）^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
∴r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∵d＞r，
∴圆G与x轴相离．
∴∠CP₃E＜90°，此时不能构成直角三角形．
综上所述，点P的坐标为（5，0）或（15，0）．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、直线和圆的位置关系、两点间的距离公式，分类讨论是解题的关键．

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