Question

如图，直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=－x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
小题1:求⊙A的半径和b的值；
小题2:判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
小题3:若点P在⊙A上，点Q是y轴上C点下方的一点，当△PQM为等腰直角三角形时，请直接写出满足条件的点Q（0，k）（k为整数）坐标．

Answer 1

小题1:连结MA，过M作MD⊥x轴，垂足为D

∵M(4，4)，A(1， 0）∴AD=3，MD=4，∴MA=5，即⊙A的半径为5；………… 1分
又直线y=－x+b过点M(4，4)，代入可得b=7… 2分
小题2:∵直线y=－x+7分别交x轴、y轴于B、C两点
可解得C(0，7)，B(，0)，∴AB=，DB=…4分
在Rt△MBD中，MB===………… 5分
由，，得，………… 6分
又∠ABM =∠MBD
∴△ABM∽△MBD，∠AMB =∠MDB=90°……… 7分
∴AM⊥直线BC，∴直线BC与⊙A相切 ………… 8分
小题3:①当∠PQM=90°时，Q(0，0)；…………10分

②当∠PMQ=90°，Q (0，2)；………… 12分

③当∠QPM=90°时，Q(0，)或(0，－8)…… 14分

其余两种不合题意，舍去。

（1）连结MA，过M作MD⊥x轴，垂足为D由图可得，AM²=AD²+MD²，且AD=3，MD=4，代入可得；
（2）只要证明∠AMB=90°可得出直线BC与⊙A相切
（3）题目分为3种情况：①当∠PQM=90°时，②当∠PMQ=90°，③当∠QPM=90°时，