Question

16．如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E是AD上一点（不与点A，D重合），连接BE，CE，以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G，若BC=6，∠EBC=45°，则图中阴影部分的面积为$\frac{9}{2}$π．

Answer 1

分析 由垂直平分线的性质得EB=EC，根据∠EBC=∠ECB=45°，则根据三角形内角和定理计算得∠BEC=90°，在Rt△BDE中，BD=$\frac{1}{2}$BC=3，∠EBD=45°，根据等腰直角三角形的性质得到ED=BD=3，然后根据扇形的面积公式求解．

解答 解：由作图可知，EB=EC，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∴∠BEC=90°，
在Rt△BDE中，
∵BC=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴ED=BD=3，∠FEG=90°，
∴阴影部分（扇形）的面积=$\frac{90π×{3}^{2}}{180}$=$\frac{9}{2}$π，
故答案为$\frac{9}{2}$π．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、相等垂直平分线的性质以及扇形的面积公式．