Question

如图，正方形ABCD内有一点P，其中PA=，PC=2，PD=1，则∠CPD=________．

Answer 1

90°
分析：把△APD绕点D逆时针旋转90°得到△CP′D，根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得P′C=PA，P′D=PD，从而判断出△PP′D是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠DPP′=45°，再利用勾股定理求出PP′的长度，利用勾股定理逆定理求出△PP′C是等腰直角三角形，从而得到∠P′PC=45°，然后根据∠CPD=∠DPP′+∠P′PC，代入数据进行计算即可得解．
解答：解：如图，把△APD绕点D逆时针旋转90°得到△CP′D，
根据旋转的性质，P′C=PA=，P′D=PD=1，
所以，△PP′D是等腰直角三角形，
∴∠DPP′=45°，
在Rt△PP′D中，PP′===，
在△PP′C中，PP′²+P′C²=²+²=2+2=4，
PC²=2²=4，
所以，PP′²+P′C²=PC²，
所以，△PP′C是直角三角形，
又∵PP′=P′C=，
∴△PP′C是等腰直角三角形，
∴∠P′PC=45°，
∴∠CPD=∠DPP′+∠P′PC=45°+45°=90°．
故答案为：90°．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理、勾股定理逆定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．