Question

5．如图，抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（-1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
（3）直线BC上方的抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；
（2）抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积；
（3）过点P作y轴的平行线，交直线BC于点F，用未知数设出点P、F的坐标，即可得到线段PF的长度表达式，以PF为底、C到B的水平距离为高，即可得到△PBC的面积函数关系式，根据函数的性质即可求出△PBC的面积最大时，点P的坐标．

解答 解：（1）将A（-1，0）代入y=a（x-1）²+4中，得：0=4a+4，
解得：a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）²+4；

（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=-（x-1）²+4的对称轴为直线x=1，
∴CD=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
则S_梯形COBD=$\frac{（1+3）×3}{2}$=6；

（3）y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．
∵B（3，0），（0，3），
∴易得直线BC的解析式为：y=-x+3．
如图，点P作y轴的平行线，交直线BC于点F，
设P（m，-m²+2m+3），则F（m，-m+3），
∴PF=-m²+2m+3+m-3=-m²+3m．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
故当m=$\frac{3}{2}$时，△PBC的面积最大，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、梯形面积的求法等知识，解答（3）问关键是求出PF的长，利用三角形的面积公式和二次函数最值的求法进行解答，此题有一定的难度．