Question

【题目】 如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，AB＝4，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．

（1）如图1，求证：A、G、E、F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，点N是线段BC的中点，且ON＝OD，求折痕FG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）折痕FG的长是．

【解析】

（1）根据折叠的性质判断出AG＝GE，∠AGF＝∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG＝∠AGF，从而判断出EF＝AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG＝GE，可得出结论．

（2）连接ON，得出ON是梯形ABCE的中位线，设CE=x,在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．

（1）证明：由折叠的性质可得，GA＝GE，∠AGF＝∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG＝∠AGF，

∴∠EFG＝∠EGF，

∴EF＝EG＝AG，

∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF＝AG），

又∵AG＝GE，

∴四边形AGEF是菱形．

（2）解：连接ON，

∵O，N分别是AE，CB的中点，

故ON是梯形ABCE的中位线，

设CE＝x，则ED＝4﹣x，2ON＝CE+AB＝x+4，

在Rt△AED中，AE＝2OE＝2ON＝x+4，

AD2+DE2＝AE2，

∴22+（4﹣x）2＝（4+x）2，

得x＝，

OE＝，

∵△FEO∽△AED，

∴，

解得：FO＝，

∴FG＝2FO＝．

故折痕FG的长是．