Question

如图，正方形ABCD（四个角都是直角，四条边都相等）的边长为1，AB，AD上各有一点P、Q，△APQ的周长为2，求∠PCQ．为了解决这个问题，我们在正方形外以BC和AB的延长线为边作△CBE，使得△CBE≌△CDQ．
（1）△CBE可以看成是由△CDQ怎样运动变化得到的？请你描述这一运动变化；
（2）图中PQ与PE的长度是相等的．请你说明理由；
（3）请用（1）或（2）中的结论说明△PCQ≌△PCE；
（4）请用以上的结论，求∠PCQ的度数．

Answer 1

解：（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆时针旋转90°得到的．

（2）∵AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，
又∵AP+AQ+PQ=2，
∴1-BE+1-BP+PQ=2，即2-PE+PQ=2，
∴PE=PQ．

（3）∵PE=PQ，QC=EC，PC=PC，
∴△PCQ≌△PCE（SSS）；
（4）∵△PCQ≌△PCE，
∴∠PCQ=∠PCE，
又∵∠BCE=∠QCD，
∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ，
又∵∠DCB=90°，
∴∠PCQ=×90°=45°．
分析：（1）△CBE可以看成是由△CDQ旋转得到的．
（2）易知AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有△APQ的周长为2，可求出PQ=PE．
（3）根据SSS判定△PCQ≌△PCE．
（4）利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE，又有∠BCE=∠QCD，得出∠PCQ的度数是∠DCB度数的一半．
点评：本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、全等三角形的性质、正方形的性质等知识．