【题目】如图,是具有公共边AB的两个直角三角形,其中,AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°.
(1)如图1,若延长DA到点E,使AE=BD,连接CD,CE.
①求证:CD=CE,CD⊥CE;
②求证:AD+BD=CD;
(2)若△ABC与△ABD位置如图2所示,请直接写出线段AD,BD,CD的数量关系.
【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)AD-BD=CD.
【解析】
(1)①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC=180°,推出∠DBC=∠EAC,根据全等三角形的性质得到CD=CE,∠BCD=∠ACE,求得∠DCE=90°,根据垂直的定义得到结论;
②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形,求得DE=CD,根据线段的和差即可得到结论;
(2)如图2,在AD上截取AE=BD,连接CE,根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=45°,求得∠CBD=∠CAE,根据全等三角形的性质得到CD=CE,∠BCD=∠ACE,求得∠DCE=90°,根据线段的和差即可得到结论.
(1)证明:①在四边形ADBC中,∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°,
∵∠ADB+∠ACB=180°,
∴∠DAC+∠DBC=180°,
∵∠EAC+∠DAC=180°,
∴∠DBC=∠EAC,
∵BD=AE,BC=AC,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴CD=CE,∠BCD=∠ACE,
∵∠BCD+∠DCA=90°,
∴∠ACE+∠DCA=90°,
∴∠DCE=90°,
∴CD⊥CE;
②∵CD=CE,CD⊥CE,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴DE=CD,
∵DE=AD+AE,AE=BD,
∴DE=AD+BD,
∴AD+BD=CD;
(2)解:AD-BD=CD;
理由:如图2,在AD上截取AE=BD,连接CE,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠ADB=90°,
∴∠CBD=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD,
∵∠CAE=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD,
∴∠CBD=∠CAE,∵BD=AE,BC=AC,
∴△CBD≌△CAE(SAS),
∴CD=CE,∠BCD=∠ACE,
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°,
∴∠BCD+∠BCE=90°,
即∠DCE=90°,
∴DE===CD,
∵DE=AD-AE=AD-BD,
∴AD-BD=CD.
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【题目】某学校院墙上部是由段形状相同的抛物线形护栏组成的,为了牢固起见,每段护栏需要间隔,加设一根不锈钢支柱,防护栏的最高点据护栏底部(如图),则这条护栏要不锈钢支柱总长度至少为( )
A. 50m B. 100m C. 120m D. 160m
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【题目】在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动,同时,点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B.C两点后就停止移动,回答下列问题:
(1)运动开始后第几秒时, △PBQ的面积等于8?
(2)当t=时,试判断△DPQ的形状。
(3)计算四边形DPBQ的面积,并探索一个与计算结果有关的结论。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置,再到△A1B1C2的位置……依次进行下去,若已知点A(4,0),B(0,3),则点C100的坐标为( )
A.B.C.D.
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【题目】关于x的一元二次方程(c+a)x2+2bx+(c-a)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状并说明理由;
(2)已知a:b:c=3:4:5,求该一元二次方程的根.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处,若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)利用直尺和圆规,作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若△OBC是等腰直角三角形,且其腰长为3,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P为抛物线对称轴上的一点,则PA+PC的最小值为 .
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
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