Question

4．如图，在矩形ABCD中，M、N分别为CD、AB的 三等分点，现将矩形ABCD对折，使顶点B恰落在MN上的点P处，延长EP交AD边于F．若AB=2$\sqrt{5}$，则折痕AE的长为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 过点P作AB的平行线交BC于G，交AD于H，设BE=x，根据翻折变换的性质用x表示出PE，证明△EGP∽△PHA，根据相似三角形的性质求出x，根据勾股定理计算即可．

解答 解：过点P作AB的平行线交BC于G，交AD于H，
设BE=x，
由翻折变换的性质可知，PA=AB=2$\sqrt{5}$，PE=BE=x，
∵N为AB的三等分点，AB=2$\sqrt{5}$，
∴PH=AN=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴AH=$\sqrt{P{A}^{2}-P{H}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴GB=$\frac{10}{3}$，GE=$\frac{10}{3}$-x，
∵∠EPA=∠B=90°，∠EGP=∠PHA=90°，
∴△EGP∽△PHA，
∴$\frac{EG}{PH}$=$\frac{EP}{PA}$，即$\frac{\frac{10}{3}-x}{\frac{4}{3}\sqrt{5}}=\frac{x}{2\sqrt{5}}$，
解得，x=2，即BE=2，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．