Question

如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线MN截△ABC交AC于点N，使截得的△CMN与△ABC相似．已知AB=6，AC=8，CM=4，则CN=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：首先利用勾股定理求出BC的长，过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以使得△CMN与△ABC相似，在求出CN的长即可．

解答：解：如图所示：
∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC=10，
过点M作MN1∥AB，则△CMN₁∽△CAB，
所以CN₁：CA=CM：BC，
即CN₁：8：=4：10，
解得：CN₁=3.2；
以M为顶点作∠CMN₂=∠A=90°，则△CMN₂∽△CBA，
所以CN₂：BC=CM：AC，
即CN₂：10：=4：8，
解得：CN₂=8；
综上可知当CN=3.2或8时△CMN与△ABC相似，
故答案为：3.2或8．

点评：本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时，运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．