Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（m-3）x-2m+3=0．
（1）若m是整数，且方程的两个根为整数，求m的值．
（2）已知一次函数y₁=6x-6．若二次函数y₂=mx²-（m-3）x-2m+3的图象关于y轴对称．是否存在二次函数y₃=ax²+bx+c，其图象经过点（2，8），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y₁，y₂，y₃都有y₁≤y₃≤y₂成立？若存在，求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根,二次函数的性质

专题：综合题,配方法

分析：（1）用公式法求出方程的根为x₁=2-

3

m

，x₂=-1．要使方程的两个根为整数，只需m是3的因数即可．
（2）由题易得y₂=3x²-3，然后运用配方法可得y₁≤y₂，易知y₁、y₂的图象都经过（1，0）．由对应x的同一个值，y₁≤y₃≤y₂成立可得y₃=ax²+bx+c的图象也必经过（1，0），结合条件y₃=ax²+bx+c经过（2，8）可得

b=8-3a c=2a-8

，则y₃=ax²+（8-3a）x+2a-8．设y=y₃-y₂，可得y=（a-3）x²+（8-3a）x+2a-5，由题可知y≤0恒成立，则有a-3＜0，且（8-3a）²-4（a-3）（2a-5）=（a-2）²≤0，就可得到a=2，此时y₃=2x²+2x-4，通过验证可得y₃=2x²+2x-4就是所求二次函数的解析式．

解答：解：（1）∵[-（m-3）]²-4m（-2m+3）=9m²-18m+9=（3m-3）²，
∴x₁=

m-3+(3m-3)

2m

=2-

3

m

，x₂=

m-3-(3m-3)

2m

=-1．
∵m是整数，且方程的两个根为整数，
∴m的值为3，-3，1，-1．

（2）∵二次函数y₂=mx²-（m-3）x-2m+3的图象关于y轴对称，
∴m-3=0即m=3．
∴抛物线的解析式为：y₂=3x²-3．
∵y₁-y₂=（6x-6）-（3x²-3）=-3x²+6x-3=-3（x-1）²≤0，
∴y₁≤y₂（当且仅当x=1时，等号成立）．
∵当x=1时，y₁=y₂=0，
∴y₁、y₂的图象都经过（1，0）．
∵对应x的同一个值，y₁≤y₃≤y₂成立，
∴y₃=ax²+bx+c的图象也必过点（1，0），
又∵y₃=ax²+bx+c经过（2，8），
∴

a+b+c=0 4a+2b+c=8

，
∴

b=8-3a c=2a-8

，
∴y₃=ax²+（8-3a）x+2a-8．
设y=y₃-y₂=ax²+（8-3a）x+2a-8-（3x²-3）
=ax²+（8-3a）x+2a-8-3x²+3
=（a-3）x²+（8-3a）x+2a-5
∵对于任意实数x的同一个值，都有y₃≤y₂即y≤0成立，
∴y=（a-3）x²+（8-3a）x+2a-5≤0恒成立，
∴a-3＜0，且（8-3a）²-4（a-3）（2a-5）=（a-2）²≤0，
∴a＜3，且（a-2）²=0．
∴a=2．
此时y₃=2x²+2x-4．
又∵y₃-y₁=2x²+2x-4-（6x-6）=2x²-4x+2=2（a-1）²≥0，
∴y₃≥y₁恒成立，
∴所求二次函数的解析式为y₃=2x²+2x-4．

点评：本题考查了用公式法解一元二次方程、一元二次方程整数根、二次函数的性质、二次函数的函数值恒为非正数的条件（二次项系数小于0，且△≤0）等知识，运用公式法求出方程的根是解决第（1）小题的关键；运用配方法则是解决第（2）小题的关键．