Question

4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）试判断四边形BEGF的形状并说明理由．
（2）求$\frac{AE}{PG}$的值．

Answer 1

分析 （1）先证明△AHG≌△AHB，得出GH=BH，由线段垂直平分线的性质得出EG=EB，FG=FB；再证出∠BEF=∠BFE，得出EB=FB，因此EG=EB=FB=FG，即可得出结论；
（2）设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，由该菱形的性质CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a-b，OC-CG=a-b，得CG=b）；然后在Rt△GOE中，由勾股定理可得a和b的关系，通过相似三角形△CGP∽△AGB的对应边成比例得到：$\frac{PG}{GB}$=$\frac{CG}{AG}$；最后由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，进而得到答案．

解答 解（1）四边形BEGF是菱形，理由如下：
∵∠GAH=∠BAH，AH=AH，∠AHG=∠AHB=90°，
∴△AHG≌△AHB，
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB，
∵∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BEGF是菱形．
（2）设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b．
∵四边形BEGF是菱形，
∴GF∥OB，
∴∠CGF=∠COB=90°，
∴∠GFC=∠GCF=45°，
∴CG=GF=b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°
∵BH⊥AF，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH．
∴∠GAH=∠OBG，
∴△OAE≌△OBG．
∴OG=OE=a-b．
∵在Rt△GOE中，GE=$\sqrt{2}$OG，
∴b=$\sqrt{2}$（a-b），整理得a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$b．
∴AC=2a=（2+$\sqrt{2}$）b，AG=AC-CG=（1+$\sqrt{2}$）b．
∵PC∥AB，
∴$\frac{BG}{PG}$=$\frac{AG}{CG}$=$\frac{（1+\sqrt{2}）b}{b}$=1+$\sqrt{2}$，
由△OAE≌△OBG得AE=BG，
∴$\frac{AE}{PG}$=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．