Question

【题目】在△ABC中，∠ABC＝90°

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为点M，N，求证：△ABM∽△BCN；

（2）如图2，P是BC边上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，BP＝2cm，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）8.

【解析】

（1）利用相似三角形的判定易证△ABM∽△BCN；

（2）过P作PM⊥AP，交AC于M，过M作MN⊥PC于N，先证△PMN∽△ABP，求出PN与AB的比，设PN=2t，则AB=t，推出CN=PN=2t，再证△ABP∽△CBA，利用相似三角形对应边的比相等即可求出t的值，进一步求出CP的值．

（1）证明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠M＝∠N＝90°

∴∠MAB+∠ABM＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABM+∠CBN＝90°，

∴∠MAB＝∠CBN，

∴△ABM∽△BCN；

（2）解：如图2，过P作PM⊥AP，交AC于M，过M作MN⊥PC于N，

则∠APB+∠MPN＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠MPN＝∠BAP，

又∵∠B＝∠N＝90°，

∴△PMN∽△ABP，

∴，

设PN＝2t，则AB＝t，

∵∠BAP＝∠MPN，∠BAP＝∠C，

∴∠MPC＝∠C，

∴CN＝PN＝2t，

∵∠B＝∠B＝90°，∠BAP＝∠C，

∴△ABP∽△CBA，

∴，

∴（t）2＝2×（2+4t），

解得，x1＝2，x2＝（舍去），

∴PC＝CN+PN＝4t＝4×2＝8．