Question

12．已知点M（-3，0），点N 是点M关于原点的对称点，点A是函数y=-x+1 图象上的一点，若△AMN是直角三角形，则点A的坐标为（-3，4）、（3，-2）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）．

Answer 1

分析 分别过点M、N作x轴垂线与直线交点即为所求，由M、N点坐标可得点A坐标；在直线上取一点（x，-x+1），根据AM²+AN²=MN²列出关于x的方程，解方程可得第三种情况下点A的坐标．

解答 解：①如图，过点M（-3，0）作x轴垂线交直线y=-x+1于点A₁，则A₁的坐标为（-3，4）；

②过点N（3，0）作x轴垂线交直线y=-x+1于点A₂，则A₂的坐标为（3，-2）；
③设直线y=-x+1上的点A₃坐标为（x，-x+1），
根据题意，A₃M²+A₃N²=MN²，即（-3-x）²+（x-1）²+（3-x）²+（x-1）²=6²，
整理，得：x²-4x-4=0，
解得：x=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，
当x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$时，y=-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
当x=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$时，y=-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴点A₃的坐标为（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），
故答案为：（-3，4）、（3，-2）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题主要考查一次函数图象上点的坐标、两点间距离公式、勾股定理，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．