Question

【题目】如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A′落在边AB上，连接A′C，如果△A′BC恰好是以AC为腰的等腰三角形，则AE的长是___．

Answer 1

【答案】1或．

【解析】

如图1，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，则易证△ADN≌△BCM，进一步可求得AN＝BM＝4；由于△A′BC恰好是以AC为腰的等腰三角形，故可分两种情况考虑：若A'C＝BC，如图1，由等腰三角形的性质可得BM＝A'M=4，进一步即可求出AE的长；若A'C＝A'B，如图2，由CM 是两个直角△、△的公共边，根据勾股定理可得CM2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，再代入数据求解方程即可.

解：如图1，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，

在△ADN和△BCM中，，

∴△ADN≌△BCM（AAS）

∴AN＝BM，DN＝CM，且DN∥CM，

∴四边形DCMN是矩形，

∴CD＝MN＝2

∴AN＝BM＝，

∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，

∴AE＝A'E，

若A'C＝BC，

∵CM⊥AB，

∴BM＝A'M＝4，

∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣8＝2，

∴AE＝1，

若A'C＝A'B，如图2所示：

∵CM2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，

∴25﹣16＝A'B2﹣（4﹣A'B）2，

解得：A'B＝，

∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣＝，

∴AE＝AA'＝；

故答案为：1或．