Question

12．如图，矩形AOBC的两条边OA，OB的长是方程x²-18x+80=0的两根，其中OA＜OB，沿直线AD将矩形折叠，使点C与y轴上的点E重合．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）若点P在y轴上，平面内是否存在点Q，使以A，D，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程可先求得OA、OB的长，则可求得A、B的坐标；
（2）在Rt△AOE中可先求得OE的长，则可求得BE长，设BD=x，则可表示出DE，在Rt△BDE中利用勾股定理可求得x，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线AD解析式；
（3）当P在x轴上方时，则PD⊥AD，利用△BPD∽△CDA可求得PB长，则可求得P点坐标，设DQ、AP交于点F，利用A、P坐标则可求得F点坐标，从而可求得Q点坐标；当点P在x轴下方时，则AP⊥AD，利用△AOP∽△ACD可求得OP长，可求得P点坐标，同理可求得Q点坐标．

解答 解：
（1）解方程x²-18x+80=0可得x=8或x=10，
∵OA，OB的长是方程x²-18x+80=0的两根，且OA＜OB，
∴OA=8，OB=10，
∴A（-8，0），B（0，10）；
（2）由折叠性质可得DE=CE，AE=AC=OB=10，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴BE=OB-OE=10-6=4，
设BD=x，则CD=DE=8-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得DE²=BE²+BD²，
∴（8-x）²=4²+x²，解得x=3，
∴D（-3，10），
设直线AD解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{-3k+b=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=16}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式为y=2x+16；
（3）当点P在x轴上方时，则有DP⊥DA，如图1，连接AP、DQ交于点F，则F为AP、DQ的中点，

∴∠BDP+∠CDA=∠CDA+∠CAD=90°，
∴∠BDP=∠CAD，且∠PBD=∠DCA，
∴△BPD∽△CDA，
∴$\frac{BP}{CD}$=$\frac{BD}{CA}$，即$\frac{BP}{5}$=$\frac{3}{10}$，解得BP=$\frac{3}{2}$，
∴OP=10-$\frac{3}{2}$=$\frac{17}{2}$，
∴P（0，$\frac{17}{2}$），且A（-8，0），
∴F（-4，$\frac{17}{4}$），
设Q（x，y），且D（-3，10），
∴$\frac{x+（-3）}{2}$=-4，$\frac{y+10}{2}$=$\frac{17}{4}$，解得x=-5，y=-$\frac{3}{2}$，
∴Q（-5，-$\frac{3}{2}$）；
当点P在x轴下方时，则有AP⊥AD，如图2，连接DP、AQ交于点G，则G为AQ、DP的中点，

同理可证得△AOP∽△ACD，则$\frac{OP}{CD}$=$\frac{OA}{AC}$，即$\frac{OP}{5}$=$\frac{8}{10}$，解得OP=4，
∴P（0，-4），且D（-3，10），
∴G（-$\frac{3}{2}$，3），
设Q（x，y），且A（-8，0），
∴$\frac{x+（-8）}{2}$=-$\frac{3}{2}$，$\frac{y+0}{2}$=3，解得x=5，y=6，
∴Q（5，6）；
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-5，-$\frac{3}{2}$）或（5，6）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、勾股定理、折叠的性质、待定系数法、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得方程的两根是解题的关键，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中求得P点坐标是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度较大．