Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D．

（1）如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．联结DE．
①说明AE=AC的理由；
②说明BE=DE的理由；
（2）如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD=CN的理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据角平分线的定义可得∠EAD=∠CAD，根据垂直的定义可得∠AFE=∠AFC=90°，然后利用“角边角”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；②利用“边角边”证明△AED和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ACB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠BDE，然后求出∠B=∠BDE，再根据等角对等边证明即可；
（2）连接DN，易得△ABM和△ANM全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AN，再利用“边角边”证明△ABD和△AND全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠AND，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACB=∠CDN+∠AND，然后求出∠CDN=∠CND，再根据等角对等边证明即可．

解答：解：（1）①∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵CF⊥AD，
∴∠AFE=∠AFC=90°，
在△AEF和△ACF中，

∠EAD=∠CAD AD=AD ∠AFE=∠AFC

，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE=AC；
②在△AED和△ACD中，

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠ACB
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE；

（2）连接DN，易证△ABM≌△ANM，
所以AB=AN，
在△ABD和△AND中，

AB=AN ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ABD≌△AND（SAS），
∴∠ABD=∠AND，
∵∠ACB=2∠B，即∠ACB=2∠ABD，
∴∠ACB=2∠AND，
又∵∠ACB=∠CDN+∠AND，
∴∠CDN=∠AND，
∴CD=CN．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，坐标与图形性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记各性质是解题的关键，（2）难点在于作辅助线构造出全等三角形．