Question

【题目】如图，AB是⊙0的直径，AB=10，CD是⊙0的切线，C为切点，交直线AB于E，AD⊥CD于D，AD=2CD．

（1）求证：∠CAB=∠CAD；

（2）求CD的长；

（3）求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）4；（3）.

【解析】

（1）根据切线和垂直得出∠OCA=∠DAC，再根据OA=OC得出∠OCA=∠OAC，即可得出答案；

（2）先求出△ACB∽△ADC得出AC=2CB，再结合勾股定理求出CB和AC的值，进而在△ACD中利用勾股定理求出CD和AD的值，即可得出答案；

（3）根据已知证出△ADE∽△OCE，再根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.

（1）连接OC

∵CD是圆O的切线

∴∠OCD=∠OCE=90°

∴∠OCA+∠ACD=90°

又AD⊥CD

∴∠DAC+∠DCA=90°

∴∠OCA=∠DAC

又∵OC=OA

∴∠OCA=∠OAC

∴∠BAC=∠DAC

（2）∵AB是圆O的直径

∴∠ACB=90°

∴△ACB∽△ADC

又AD=2CD

∴AC=2CB

设AC=2x，CB=x

解得：(负值舍去)

设CD=y，则AD=2y

则

解得：y=±4(负值舍去)

∴CD=4

（3）∵CD=4，AD=8

∵AB是圆O的直径，AB=10

∴OA=OB=5

∴OE=AE-OA=AE-5

∵∠ADE=∠OCE，∠E=∠E

∴△ADE∽△OCE

∴

即

解得：AE=