Question

12．△ABC内接于⊙0，且AB=AC=5，圆心到BC的距离为1，求⊙0的半径．

Answer 1

分析 此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得BD的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得BD的长，然后列方程解得⊙0的半径即可．

解答 解：如图，当三角形的外心在三角形的内部时，设⊙0的半径为r，
连接AO并延长到BC于点D，
∵AB=AC，O为外心，
∴AD⊥BC，
在直角三角形BOD中，根据勾股定理，得BD=$\sqrt{{r}^{2}-1}$．
在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=$\sqrt{25-（r+1）^{2}}$，
∴$\sqrt{{r}^{2}-1}$=$\sqrt{25-（r+1）^{2}}$，
解得r=$\frac{-1+\sqrt{51}}{2}$，
当三角形的外心在三角形的外部时，
在直角三角形BOD中，根据勾股定理，得BD²=r²+1．
在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD²=25-（r-1）²
∴r²+1=25-（r-1）²，
解得：r=$\frac{1+\sqrt{47}}{2}$，
综上所述：⊙0的半径为；$\frac{-1+\sqrt{51}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{47}}{2}$．

点评 此题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，注意：三角形的外心可能在三角形的外部，可能在三角形的内部，也可能在三角形的一边上，即直角三角形的外心在其斜边的中点．