Question

如图，在RtΔABC中，∠C=90º，AC=4cm,BC=3cm.动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动。连接PM、PN。设移动时间为t（单位：秒，0<t<2.5).

(1)当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与ΔABC相似？

(2)是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）由以A、P、M为顶点的三角形与ΔABC相似，分两种情况:

若ΔAMP∽ΔABC,则∴∴t=,

‚若ΔAPM∽ΔABC,则∴，∴t=0(不合题意，舍去)

当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与ΔABC相似.

(2)过点P作PH┴BC，垂足为H.

  ∵PH//AC，∴即∴PH=，

∴S=

   =

   =（0<t<2.5）

   =

∵>0,∴S有最小值，当t=时，S最小值为

答：当t=时，四边形APNC的面积最小，S的最小值是.