Question

（2009•吉安二模）将边长为4的等边△ABC放置在边长为1的小正三角形组成的虚线网格中．
（1）在图①中画出将等边△ABC向右平移3格后所得的△A₁B₁C₁，则四边形ABB₁A₁是平行四边形吗试说说你的理由；
（2）将等边△ABC向右平移n格后得到△A₂B₂C₂，若四边形ABB₂A₂是菱形，则n的值是多少试在图②中画出平移后的图形，并计算此时菱形ABB₂A₂对角线BA₂的长；
（3）如图③，请你继续探索，将等边△ABC向右平移若干格后得到△A₃B₃C₃，使AC与A₃B₃能互相平分．画出平移后的图形，再连接AB₃、AA₃、A₃C，此时四边形AB₃CA₃是怎样的特殊四边形？说说你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根据一组对边平行且相等，判断ABB₁A₁是平行四边形；
（2）因AB=4，则向右平移4格后ABB₂A₂是菱形，根据菱形对角线的性质和勾股定理可得对角线BA₂的长；
（3）向右平移2格时，AC与A₃B₃能互相平分，根据对角线平分且相等的四边形是矩形，可判断四边形AB₃CA₃是矩形．
解答：解：
（1）如图①（1分）
ABB₁A₁是平行四边形．（2分）
理由如下：∵△A₁B₁C₁是△ABC经平移后得，
∴A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB，
∴ABB₁A₁是平行四边形．（3分）

（2）如图②，向右平移4格后ABB₂A₂是菱形．（4分）
连接BA₂交AC于O点，
∵ABB₂A₂是菱形，
∴AB₂⊥BA₂且AO=B₂O=AC=2BO=A₂O，
在Rt△BOB₂中：B₂O²+BO²=BB₂²
∴BO²=4²-2²
∴BO=2，
∴对角线BA₂=2BO=4．（6分）

（3）如图③，向右平移2格时，AC与A₃B₃能互相平分，此时四边形AB₃CA₃是矩形．（6分）
理由如下：
∵BB₃=B₃C=BC=2，
∴AB₃是等边△ABC的中线．
∴AB₃⊥B₃C．
∴∠AB₃C=90°．
又∵AA₃∥B₃C且AA₃=B₃C=2，
∴AB₃CA₃是平行四边形．
∴AB₃CA₃是矩形．（9分）
点评：此题主要考查平移作图、平行四边形、菱形、矩形的判定．