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18.如图,向△ABC外作正方形ABEF和ACGH,点M是BC边的中点,求证:FH=2AM.

分析 在AM的延长线上取点N,使AM=MN,连接BN、CN,则四边形ABNC是平行四边形ABNC,得到CN=AB,∠BAC+∠ACN=180°,根据四边形ABEF、ACGH是正方形,易证AF=AB=CN,AH=AC,∠FAH=∠ACN,根据SAS证明△ACN≌△AHF即可证明FH=AN=2AM.

解答 证明:在AM的延长线上取点N,使AM=MN,连接BN、CN
∵M是BC的中点,AM=MN,
∴四边形ABNC是平行四边形ABNC,(对角线互相平分)
∴CN=AB,∠BAC+∠ACN=180°,
∵四边形ABEF、ACGH是正方形,
∴AF=AB,AH=AC,∠BAF=∠CAH=90°,
∴AF=CN,∠BAC+∠FAH=360°-∠BAF-∠CAH=180°,
∴∠FAH=∠ACN,
在△ACN和△AHF中,
 $\left\{\begin{array}{l}{AF=CN}\\{∠FAH=∠ACN}\\{AH=AC}\end{array}\right.$,
∴△ACN≌△AHF (SAS)
∴FH=AN,
∵AN=AM+MN=2AM,
∴FH=2AM.

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及平行四边形的判定与性质,作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的关键.

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