Question

如图，矩形ABCD中，从较短边AD上找一点E，过点E剪下一个正三角形和一个正方形，它们边长分别为DE和AE．设矩形相邻两边长分别为6和，当DE为________时，使得剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和最小，最小值为________．

Answer 1

4    
分析：设DE=x，则AE=+4-x，剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和为y，根据正三角形和正方形的面积公式得y=x²+（+4-x）²，整理后发现y是x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
解答：设DE=x，则AE=+4-x，剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和为y，
由题意，得y=x²+（+4-x）²
=x²+3+16+x²+8-2x-8x
=（+1）x²-（2+8）x+（19+8），
∵+1＞0，
∴当x==4时，y有最小值，
最小值是：=4+3．
故答案为4，4+3．
点评：本题考查了正三角形和正方形的面积，二次函数的性质，二次根式的化简，难度适中，得出y与x的函数关系式是解题的关键，利用二次根式的性质进行化简是本题的难点．