Question

已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）求证：BC•AD=DE•AC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）求出B、A、D、C四点共圆，推出∠ABE=∠ACD，求出∠BAE=∠DAC，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似三角形的性质推出

AB

AC

=

AE

AD

，根据∠BAC=∠DAE推出△ABC∽△AED，得出比例式，代入求出即可．

解答：证明：（1）∵∠BAC=∠BDC，
∴B、A、D、C四点共圆，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ABE∽△ACD；

（2）∵△ABE∽△ACD，
∴

AB

AC

=

AE

AD

，
∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED，
∴

BC

DE

=

AC

AD

，
∴BC•AD=DE•AC．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生运用相似三角形的性质和判定进行推理的能力．