Question

14．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=m，BC=n，E、F分别是AD、BC的中点，AF与BE相交于点G，EC与DF相交于点H．求证：
（1）GH∥BC；
（2）求GH的长．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得出$\frac{AG}{GF}$=$\frac{DH}{FH}$=$\frac{m}{n}$，即可得到GH∥AD；
（2）由平行线分线段成比例，即可求解GH的长．

解答 解：（1）∵AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AG}{GF}$=$\frac{m}{n}$，$\frac{ED}{CF}$=$\frac{DH}{FH}$=$\frac{m}{n}$，
∴$\frac{AG}{GF}$=$\frac{DH}{FH}$=$\frac{m}{n}$，
∴GH∥AD；

（2）由（1）证得GH∥AD，∴$\frac{GH}{AD}$=$\frac{FG}{AF}$=$\frac{n}{n+m}$，
∴GH=$\frac{n}{n+m}$．
故答案为：$\frac{n}{n+m}$．

点评 本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．