Question

15．如图，已知直线y=-x+6与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线y=x+2与直线y=-x+6交于点A，与x轴交于点D，点Q（3，t）在直线y=-x+6上．
（1）求点A的坐标及t的值；
（2）在射线DA上是否存在点M，使以D，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）在直线y=x+2上是否存在点P，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

分析 （1）首先根据$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，求出x、y的值，即可求出点A的坐标；然后把x=3代入y=-x+6，求出t的值是多少即可．
（2）在射线DA上存在点M，使以D，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．根据题意，分三种情况：①当BM=DM时；②当BD=DM时；③当BD=BM时；然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，求出点M的坐标即可．
（3）在直线y=x+2上存在点P，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．根据题意，分两种情况：①当点P在y=-x+6上方时；②当点P在y=-x+6下方时；然后根据平行四边形的性质，分类讨论，求出点P的坐标即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$．
∴点A的坐标是（2，4）．
∵点Q（3，t）在直线y=-x+6上，
∴t=-3+6=3，
∴点Q的坐标是（3，3）．

（2）在射线DA上存在点M，使以D，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．
∵直线y=x+2与x轴交于点D，
∴点D的坐标是（-2，0）．
①如图1，当BM=DM时，

∵BM=DM，
∴点M在BD的中垂线上，
∵B（6，0），D（-2，0），
∴点M的横坐标是：$\frac{6+（-2）}{2}=2$，
∴点M的纵坐标是：2+2=4，
∴点M的坐标是（2，4），此时点M和点A重合．

②如图2，当BD=DM时，

∵点M在射线DA上，
∴设点M的坐标是（a，a+2）（a＞-2），
∵B（6，0），D（-2，0），
∴$\sqrt{{（a+2）}^{2}{+（a+2）}^{2}}$=|6-（-2）|=8，
整理，可得
（a+2）²=32，
解得a=-2+4$\sqrt{2}$或a=-2-4$\sqrt{2}$，
∵-2-4$\sqrt{2}$＜-2，
∴a=-2-4$\sqrt{2}$不符合题意，
∴点M的坐标是（-2+4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$）．

③如图3，当BD=BM时，

∵点M在射线DA上，
∴设点M的坐标是（b，b+2）（b＞-2），
∵B（6，0），D（-2，0），
∴$\sqrt{{（b-6）}^{2}{+（b+2）}^{2}}$=|6-（-2）|=8，
整理，可得
b²-4b-12=0，
解得b=6或b=-2（舍去），
∴点M的坐标是（6，8）．
综上，可得在射线DA上存在点M，使以D，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标是（2，4）、（-2+4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$）或（6，8）．

（3）在直线y=x+2上存在点P，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
①如图1，当点P在y=-x+6上方时，

∵点P在直线y=x+2上，
∴设点P的坐标是（c，c+2），
∵以O，A，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴AP=OQ，
即$\sqrt{{（c-2）}^{2}{+（c+2-4）}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
整理，可得
c²-4c-5=0，
解得c=5或c=-1（舍去），
∴点P的坐标是（5，7）．

②如图2，当点P在y=-x+6下方时，

∵点P在直线y=x+2上，
∴设点P的坐标是（c，c+2），
∵以O，A，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴AP=OQ，
即$\sqrt{{（c-2）}^{2}{+（c+2-4）}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
整理，可得
c²-4c-5=0，
解得c=-1或c=5（舍去），
∴点P的坐标是（-1，1）．
综上，可得在直线y=x+2上存在点P，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（5，7）或（-1，1）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（3）此题还考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握．