Question

（2012•浦江县模拟）已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（-2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线 与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线与x轴的两交点A和B的坐标，设出抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），将C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）可先设Q的坐标为（m，0）；通过求△CEQ的面积与m之间的函数关系式，来得出△CQE的面积最大时点Q的坐标．△CEQ的面积=△CBQ的面积-△BQE的面积．可用m表示出BQ的长，然后通过相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ边上的高，进而可根据△CEQ的面积计算方法得出△CEQ的面积与m的函数关系式，可根据函数的性质求出△CEQ的面积最大时，m的取值，也就求出了Q的坐标；
（3）本题要分三种情况进行求解：①当OD=OF时，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是个等腰直角三角形，于是可得出F的坐标应该是（2，2），由于P，F两点的纵坐标相同，因此可将F的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标；②当OF=DF时，如果过F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的纵坐标，然后根据①的方法求出P的坐标；③当OD=OF时，OF=2，由于O到AC的最短距离为2

2

，因此此种情况是不成立的，综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标．

解答：解：（1）由A（4，0），B（-2，0），设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），
将C（0，4）代入抛物线解析式得：4=a（0-4）（0+2），
解得：a=-

1

2

，
则抛物线解析式为y=-

1

2

（x-4）（x+2）=-

1

2

x²+x+4；

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，

∵A（4，0），B（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴

EG

CO

=

BQ

BA

，即

EG

4

=

m+2

6

，
∴EG=

2m+4

3

，
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=

1

2

BQ•CO-

1

2

BQ•EG
=

1

2

（m+2）（4-

2m+4

3

）
=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S_△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；

（3）存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形，理由为：
在△ODF中，分三种情况考虑：
①若DO=DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此时，点F的坐标为（2，2），
由-

1

2

x²+x+4=2，
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
此时，点P的坐标为：P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，

由等腰三角形的性质得：OM=

1

2

OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（1，3），
由-

1

2

x²+x+4=3，
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
此时，点P的坐标为：P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）；
③若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴点O到AC的距离为2

2

，而OF=OD=2＜2

2

，与OF≥2

2

矛盾，
所以AC上不存在点使得OF=OD=2，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）或P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）．

点评：本题考查了二次函数的综合题：点在抛物线上，则点的横纵坐标满足其二次函数解析式；通过几何关系列出二次函数关系式，并配成抛物线的顶点式y=a（x-h）²+k，当a＜0，x=h，y有最大值k．也考查了三角形相似的判定与性质．要注意的是（3）中不确定等腰三角形的腰是哪些线段时，要分类进行讨论．