Question

17．已知y₁=a₁（x-m）²+5，点（m，25）在抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂上，其中m＞0．
（1）若a₁=-1，点（1，4）在抛物线y₁=a₁（x-m）²+5上，求m的值；
（2）记O为坐标原点，抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点为M，若c₂=0，点A（2，0）在此抛物线上，∠OMA=90°，求点M的坐标；
（3）若y₁+y₂=x²+16x+13，且4a₂c₂-b₂²=-8a₂，求抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）将a₁=-1和点（1，4）代入抛物线y₁=a₁（x-m）²+5即可求出m；
（2）先将（2，0）和c₂=0代入y₂=a₂x²+b₂x+c₂中即可得出b₂=-2a₂．进而求出抛物线的对称轴，由∠OMA=90°，得出点M的坐标，
（3）方法一：根据点（m，25）在抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂上得出a₂ m ²+b₂ m+c₂=25①，再根据y₁+y₂=x²+16x+13，得出a₁+a₂=1②，b₂-2a₁m=16③，a₁m²+c₂=8④，再结合4a₂c₂-b₂²=-8a₂，联立即可求出m及a₂，b₂，c₂，即可得出抛物线解析式．
方法二：先根据x=m时两个函数的值分别求出，再求和，再利用y₁+y₂=x²+16x+13，求出m，进而利用4a₂c₂-b₂²=-8a₂，求出抛物线的顶点坐标的纵坐标，最后用恒等式y₁+y₂=（a₁+a₂）x²-2（a₁+a₂h）x+a₁+a₂h²+3=x²+16 x+13，得出a₁+a₂=1①，-2（a₁+a₂h）=16②，a₁+a₂h²+3=13③，联立这三个式子即可求出a₂，h即可得出结论．
方法三：先求出m的值，进而利用4a₂c₂-b₂²=-8a₂，求出抛物线的顶点坐标的纵坐标，再用a₁表示出y₂和它的顶点坐标的纵坐标建立方程求出a₁即可得出结论．

解答 解：（1）∵a₁=-1，∴y₁=-（x-m）²+5．
将（1，4）代入y₁=-（x-m）²+5，得
4=-（1-m）²+5．
m=0或m=2．
∵m＞0，
∴m=2．
（2）∵c₂=0，
∴抛物线y₂=a₂ x²+b₂ x．
将（2，0）代入y₂=a₂ x²+b₂ x，得4a₂+2b₂=0．即b₂=-2a₂．
∴抛物线的对称轴是x=1．
设对称轴与x轴交于点N，根据抛物线的对称性得，△OAM是等腰三角形，
∴NA=NO=1．
∵∠OMA=90°，
∴MN=OA=1．
∴当a₂＞0时，M（1，-1）；
当a₂＜0时，M（1，1）．
∵25＞1，
∴M（1，-1），

（3）方法一：∵点（m，25）在抛物线y₂=a₂ x²+b₂x+c₂上，
∴a₂ m ²+b₂ m+c₂=25①
∵y₁+y₂=（a₁+a₂）x²+（b₂-2a₁m）x+5+a₁m²+c₂=x²+16x+13，
∴a₁+a₂=1②，
b₂-2a₁m=16③
a₁m²+c₂=8④
由③得，b₂m=16m+2a₁m²⑤，
由④得，c₂=8a₁m²⑥
将⑤⑥代入方程①得，a₂ m ²+16m+2 m ² a₁+8-m ² a₁=25．
整理得，m ²+16m-17=0．
解得m₁=1，m₂=-17．
∵m＞0，
∴m=1．
将m=1代入③得，b₂=16+2a₁=12+2（1-a₂）=18-2a₂，
将m=1代入④得，c₂=8-a₁=8-（1-a₂）=7+a₂．
∵4a₂ c₂-b₂²=-8a₂，
∴4a₂（7+a2）-（18-2a₂）²=-8a₂．
∴a₂=3．
∴b₂=18-2×3=12，c₂=7+3=10．
∴抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂的解析式为y=3x²+12+10．


方法二，由题意知，当x=m时，y₁=5；当x=m时，y₂=25；
∴当x=m时，y₁+y₂=5+25=30．
∵y₁+y₂=x₂+16 x+13，
∴30=m²+16m+13．
解得m₁=1，m₂=-17．
∵m＞0，
∴m=1．
∵4a₂ c₂-b₂²=-8a₂，
∴$\frac{4{a}_{2}{c}_{2}-{{b}_{2}}^{2}}{4{a}_{2}}$=$\frac{-8{a}_{2}}{4{a}_{2}}$=-2
∴y₂ 顶点的纵坐标为-2．
设抛物线y₂的解析式为y₂=a₂ （x-h）²-2．
∴y₁+y₂=a₁ （x-1）²+5+a₂ （x-h）²-2．
∵y₁+y₂=（a₁+a₂）x²-2（a₁+a₂h）x+a₁+a₂h²+3=x²+16 x+13，
∴a₁+a₂=1①，-2（a₁+a₂h）=16②，a₁+a₂h²+3=13③，
将①代入②③化简得，a₂h-a₂=-9④，a₂h²-a₂=9⑤，
联立④⑤，解得h=-2，a₂=3．
∴抛物线的解析式为y₂=3（x+2）²-2=3x²+12+10．

方法三、由题意知，当x=m时，y₁=5；当x=m时，y₂=25，
∴当x=m时，y₁+y₂=5+25=30．
∵y₁+y₂=x²+16x+13，
∴30=m²+16m+13，
∴m=1或m=-17，
∵m＞0，
∴m=1，
∴y₁=a₁ （x-1）+5．
∵y₁+y₂=x²+16x+13，
∴y²=x²+16 x+13-y₁
=x₂+16x+13-a₁ （x-1）²-5．
即y₂=（1-a₁）x²+（16+2a₁）x+8-a₁．

∵4a₂c₂-b₂²=-8a₂，
∴$\frac{4{a}_{2}{c}_{2}-{{b}_{2}}^{2}}{4{a}_{2}}$=$\frac{-8{a}_{2}}{4{a}_{2}}$=-2
∴y₂ 顶点的纵坐标为-2．
∴$\frac{4（1-{a}_{1}）（8-{a}_{1}）-（16+2{a}_{1}）^{2}}{4（1-{a}_{1}）}$=-2
∴a₁=-2．
∴y₂=3x²+10x+10．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的性质，等腰直角三角形的性质，恒等式，解本题的关键是列出方程，解方程组是解本题的难点，是一道很好的中考题．