Question

已知点O在直线l上，

AD

是以O为圆心的某圆上的一段弧，∠AOD=90°，分别过A、D两点作l的垂线，垂足为B、C．
（1）当点A、D在直线l的同侧时，试探索线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明；当点A、D在直线l的两侧时，且AB≠CD时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论（不必证明）．
（2）如图，

当点A、D在直线l的同侧，如果AB=3，CD=4，点M是

AD

的中点，MN⊥BC，垂足为点N，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据圆的性质可知OA=OD，根据已知可得∠ABC=∠OCD=∠AOD=90°，由余角的性质可得∠AOB=∠ODC
即可证得Rt△ABO≌Rt△OCD，可得AB+CD=BC；在两侧的证明方法一样，可求得BC=|AB-CD|．
（2）此题需要借助于辅助线，需要构造矩形与相似三角形，根据它们的性质求解即可，辅助线为过点A作AH⊥CD，垂足为点H，连接MO，可得矩形，又点M是弧

AD

的中点，AD⊥OM，MN⊥BC，所以AH∥BC，即得MN⊥AH，∠DAH=∠OMN，即可证Rt△DAH∽Rt△OMN；根据相似三角形的性质即可求得．

解答：（1）解：AB+CD=BC．（1分）
①证：在Rt△ABO和Rt△OCD中，
∵∠BAO+∠AOC=90°，∠DOC+∠AOC=90°
∴∠BAO=∠DOC
∵OA=OD
∴Rt△ABO≌Rt△OCD（2分）
∴AB=OC，BO=CD
∴AB+CD=OC+BO=BC（2分）
即：AB+CD=BC
②BC=|AB-CD|．（2分）

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，连接MO（1分）
得：四边形ABCH为矩形，
∴AH=BC=AB+CD=7，DH=1
∴AD=

AH2+DH2

=

72+12

=5

2

∵AB=OC，
∴OD=

OC2+CD2

=

32+42

=5
∴OM=OD=5
∵点M是弧

AD

的中点，
∴AD⊥OM
∵MN⊥BC，AH∥BC，
∴MN⊥AH
∴∠DAH=∠OMN
∴Rt△DAH∽Rt△OMN（2分）
∴

AH

MN

=

AD

MO

∴

7

MN

=

5 2

5

∴MN=

7 2

2

（2分）

点评：此题考查了圆与相似三角形的性质与判定，解题的关键是要注意数形结合思想的应用，还要注意辅助线的作法，选择好辅助线会达到事半功倍的效果．