Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点．
求：（1）抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）抛物线与坐标轴的交点坐标；
（4）当x取什么值时，y＞0．

Answer 1

分析：（1）由题意抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点，把三点代入函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式；
（2）把求得的解析式化为顶点式，从而求出其对称轴和顶点坐标；
（3）由（1）求得的解析式，令y=0，得到方程，x²-2x-3=0，然后根据十字相乘法求出方程的根，从而求出抛物线与坐标轴的交点坐标；
（4）由题意把函数转化为不等式，得x²-2x-3＞0，从而求出x的取值范围．

解答：解：（1）∵抛物线经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点，则

4a+2b+c=-3 c=-3 a-b+c=0

a=1 b=-2 c=-3

∴y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-5
∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-5）；

（3）∵x=0，y=0²-2×0-3=-3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3）
∵y=0，
∴x²-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）、（-1，0）．

（4）∵y＜0，即图象在x轴的下方，
∴由图象可知：当-1＜x＜3时，y＜0．

点评：（1）第一问考查函数的基本性质及用待定系数法求函数的解析式，比较简单；
（2）第二问考查函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键是将函数的解析式化为顶点式；
（3）第三问主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
（4）第四问将函数和不等式联系起来，考查学生解不等式．