Question

已知二次函数的图象开口向上且不过原点0，顶点坐标为（1，-2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系式OC²=OA•OB．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）已知顶点坐标为（1，-2），可设顶点式为y=a（x-1）²-2=ax²-2ax+a-2，设A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁x₂=

a-2

a

，C（0，a-2），由OC²=OA•OB，将相应点的坐标代入，列方程求a，即可求二次函数解析式；
（2）根据二次函数解析式及AB=|x₁-x₂|，利用求根公式求AB，点C到线段AB的距离为高，可求△ABC的面积．

解答：解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1，-2），
设顶点式为y=a（x-1）²-2=ax²-2ax+a-2，A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁x₂=

a-2

a

，C（0，a-2），
由OC²=OA•OB，得（a-2）²=|x₁x₂|=|

a-2

a

|，即a³-4a²+4a=|a-2|，
当0＜a＜2时，有a³-4a²+5a-2=0
即（a-1）²（a-2）=0，
解得a₁=1或a₂=2（舍去）
由a=1得y=x²-2x-1；
当a＞2时，有a³-4a²+3a+2=0
即（a-2）（a²-2a-1）=0
解得a₁=2（舍去），a₂=1+

2

，a₃=1-

2

（舍去），
故a=1+

2

，y=（1+

2

）x²-（2+2

2

）x+

2

-1，
故 所求二次函数解析式为：y=x²-2x-1或y=（1+

2

）x²-（2+2

2

）x+

2

-1；
（2）由S_△ABC=|AB|•|OC|，有两种情况：
①当y=x²-2x-1时，
|AB|=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

2

，
又|OC|=1，故S_△ABC=

1

2

×2

2

×1=

2

；
②当y=（1+

2

）x²-（2+2

2

）x+

2

-1时，
|AB|=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

2( 2 -1)

，
又|OC|=

2

-1，则
S_△ABC=

1

2

×2

2( 2 -1)

×（

2

-1）=（

2

-1）

2( 2 -1)

．
故所求△ABC的面积为（

2

-1）

2( 2 -1)

或

2

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；顶点式y=a（x-h）²+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y=a（x-x₁）（x-x₂），抛物线与x轴两交点为（x₁，0），（x₂，0）．