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6.如图所示,四边形ABCD是圆O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且∠D=∠E.
(1)求证:∠ADC=∠CBE;
(2)求证:CB=CE;
(3)设AD不是圆O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.

分析 (1)连接AC,BD,由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC,再由∠CBE+∠ABC=180°得出∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D,进而可得出结论;
(2)由圆内接四边形的性质得出∠D=∠CBE,再由∠D=∠E,故可得出∠CBE=∠E,进而得出结论;
(3)设BC的中点为N,连接MN,由等腰三角形的性质得出MN⊥BC,故点O在直线MN上,因为AD不是圆O的直径,M为AD的中点可得出OM⊥AD,MN⊥AD,BC∥AD,故可得出∠A=∠CBE,再由∠A=∠E可得出∠D=∠E,进而可得出结论.

解答 (1)证明:连接AC,BD,
∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC,∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°,
又∵∠CBE+∠ABC=180°,
∴∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D,
∴∠D=∠CBE;

(2)证明:∵∠D=∠CBE,∠D=∠E,
∴∠CBE=∠E,
∴CB=CE;

(3)解:设BC的中点为N,连接MN,
∵BM=MC,
∴MN⊥BC,
∴点O在直线MN上.
又∵AD不是圆O的直径,M为AD的中点,
∴OM⊥AD,
∴MN⊥AD,
∴BC∥AD,
∴∠A=∠CBE.
又∵∠A=∠E,
∴∠D=∠E,
∴△ADE为等边三角形.

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键.

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