Question

12．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²平移后的图象过A（1，0），C（0，2）两点，与x轴的另一个交点为B．
（1）求出点B的坐标；
（2）⊙I过点A，B，并与直线AC相切，求⊙I的半径长；
（3）P（t，0）为x轴上一点，过点P作直线AC的平行线m，若直线m与（2）中的⊙I有交点，求出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用二次函数平移的性质结合点的坐标得出函数解析式，进而求出B点坐标；
（2）利用切线的性质得出Rt△AID∽Rt△CAO，进而求出⊙I的半径长；
（3）过点A作⊙I的直径AE，过点E作⊙I的切线交x轴于点F，首先得出△AEF∽△COA，进而得出t的值．

解答 解：（1）设平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+2，把（1，0）代入，得
-$\frac{1}{2}$×1²+b+2=0，
解得：b=-$\frac{3}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．令y=0，
0=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，
解得：x₁=1，x₂=-4，
∴B（-4，0）；

（2）如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点D，因⊙I经过点A，B，
则圆心I也在抛物线的对称轴直线x=-$\frac{3}{2}$上．
连结AI，ID，
∵∠CAD=∠AID=90°-∠IAD，
∴Rt△AID∽Rt△CAO，
∴$\frac{AD}{IA}$=$\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{2.5}{IA}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得：IA=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴⊙I 的半径长为$\frac{5\sqrt{5}}{4}$；

（3）如图，过点A作⊙I的直径AE，过点E作⊙I的切线交x轴于点F，
则EA⊥AC，EA⊥EF．
∵CO⊥OA，∴∠AEF=∠COA=90°，
∴∠FAE=∠ACO=90°-∠OAC，
∴△AEF∽△COA，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{CO}$．
∵AD=$\frac{5}{2}$，ID=$\frac{5}{4}$，
∴AI=$\frac{5}{4}$$\sqrt{5}$．
∵AC=$\sqrt{5}$，CO=2，AE=2AI=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴AF=$\frac{25}{4}$，∴OF=$\frac{21}{4}$，∴t=-$\frac{21}{4}$，
∴要使直线EF与（2）中所求的⊙I有交点，
则t 的取值范围为：-$\frac{21}{4}$≤t≤1．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识，得出△AEF∽△COA进而利用相似三角形的性质求出是解题关键．