Question

如图，已知直线l：y=kx+2，k＜0，与y轴交于点A，与x轴交于点B，以OA为直径的⊙P交l于另一点D，把弧AD沿直线l翻转后与OA交于点E．
（1）当k=-2时，求OE的长；
（2）是否存在实数k，k＜0，使沿直线l把弧AD翻转后所得的弧与OA相切？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）知道了k的值也就知道了直线l的解析式，那么A，B的坐标也就可以求出了，这样就知道了OA，OB的长，运用勾股定理就能求出AB的长．三角形EDO中，∠ADE=∠AOD那么ODE就是个等腰三角形，如果点D作DC⊥AO于点C，OC=

1

2

OE，那么求出OC就能求出OE，因为DC，OB同时垂直OA，因此DC∥OB，根据平行线分线段成比例定理，可得出OC，BD，OA，AB的比例关系式，已知了OA，AB的值，那么可得出OC，BD的比例关系，那么求BD的长就是解题的关键所在，根据切割线定理，OB²=BD•BA，据此可求出BD的长，那么就可以求出OC和OE的长了．
（2）要使沿直线l把弧AD翻转后所得的弧与OA相切，那么切点就应该是A，那么E点就和A点重合了，根据（1）可知道OD=DA（OD=DE），又可知∠ADO=90°，那么OA=OB，根据直线的函数式我们知道A为（0，2），因此B就是（2，0）然后根据这两点判断出此时k的取值即可．

解答：解：（1）如图所示，
由∠DEO=∠EAD+∠ADE=

1

2

弧AED的度数=

1

2

弧AmD的度数=∠AOD，
∴OD=DE，
当k=-2时，易得A（0，2），B（1，0），OA=2，OB=1，则AB=

5

，
∵BO与⊙P切于点O，
∴OB²=BD•AB?BD=

5

5

，
过点D作DC⊥AO于点C，
∵DE=DO，
∴OE=2OC，DC∥OB，
从而，有

OC

OA

=

BD

BA

?

OC

2

=

5 5

5

?OC=

2

5

，
故OE=

4

5

．

（2）假设存在实数k使得弧AD沿直线l翻转后所得弧与OA相切，则切点必为A，即E与A重合，由（1）知OD=AD．
又因为∠ADO=90°，所以∠OAD=45°，
此时，OB=OA=2，B（2，0），
∴k=-1，
故存在k=-1，使得弧AD沿直l翻转后所得弧与OA相切．

点评：本题结合一次函数考查了圆在坐标系的变换情况．