Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）．图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③当x≤1时，y随x值的增大而增大；④当-1≤x≤3时，ax²+bx+c＜0；⑤只有当a=

1

2

 时，△ABD是等腰直角三角形．那么，其中正确的结论是

 

．（只填你认为正确结论的序号）

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系,二次函数的性质,抛物线与x轴的交点

专题：数形结合

分析：根据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1可判断①正确；根据图象得x=1对应的函数值为负数，可判断以②错误；
根据抛物线当a＞0，在对称轴左侧，y随x的增大而减小可判断以③错误；利用x=-1或x=3时，ax²+bx+c=0，可判断④错误；

解答：解：∵二次函数的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3，
∴AB中点坐标为（1，0），而点A与点B是抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=-

b

2a

=1，即2a+b=0，所以①正确；
∵当x=1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴a+b+c＜0，所以②错误；
∵a＞0，
∴当x≤1时，y随x值的增大而减，所以③错误；
由于当-1＜x＜3时，ax²+bx+c＜0，而x=-1或x=3时，ax²+bx+c=0，所以④错误；
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，对称轴x=1交x轴与E点，如图，
当△ABD是等腰直角三角形，则DE=

1

2

AB，即|

4a•(-3a)-4a2

4a

|=

1

2

×4，
∴a=

1

2

，所以⑤正确．
故答案为①⑤．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：a＞0，开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．也考查了抛物线的交点式以及等腰直角三角形的性质．