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(2002•呼和浩特)如图,在直角坐标系中,点O’的坐标为(2,0),OO’与x轴交于原点O和点A,B、C、E三点的坐标分别为(-1,0),(0,3)和(0,p),且0<p≤3.
(1)求经过点B、C的直线的解析式;
(2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与⊙O'有哪几种位置关系?当P分别在什么范围内取值时,直线BE与⊙O'是这几种位置关系?
(3)设过点A、B、E的抛物线的顶点是D,求四边形ABED的面积的最大或最小值.

【答案】分析:(1)已知了B、C的坐标,可利用待定系数法求得直线BC的解析式.
(2)直线与圆的位置关系有三种:相切、相交、相离,此题可先求出相切时p的值,然后再分段讨论其他两种情况;当直线BE与⊙O′相切时,设切点为M,连接O′M,在Rt△BO′M中,BO′=3,O′M=2,利用勾股定理可求得BM的长,进而由△BOE∽△BMO′得到的比例线段求出OE的长,也就求出了此时p的值,进而可得到相交和相离时,p的取值范围.
(3)根据圆心O′的坐标及圆的半径可求得A点的坐标,然后根据A、B、E三点坐标,表示出该抛物线的解析式(含p的式子),然后将所得关系式化为顶点坐标式,即可得到顶点D的坐标;由于四边形ABED的面积无法直接求得,可连接OD,将其面积分割成△BOE、△OED、△ODA三部分,可分别求出各部分的面积,进而可得到四边形ABED的面积表达式,然后利用p的取值范围,可求出它的最大(小)面积.
解答:解:(1)设B、C点所在直线为:y=kx+b,则有:
?
∴所求直线为y=3x+3.

(2)直线BE与⊙O′有相离、相切、相交三种位置关系;
设BE切⊙O′于点M,连接O′M,必有∠O′MB=90°,
y轴为过O′O端点O和O′O垂直的直线;
∴当0<p<时,BE与⊙O′相交;
p=时相切;<p≤3时相离.

(3)点A坐标(4,0),设过A、B、E点的抛物线为y=ax2+bx+c,有:


∴抛物线解析式为y=-x2+px+p=-(x-2+
∴顶点D();
连接OD,则SABED=S△BOE+S△OED+S△ODA
=×1×p+×p×+×4×=
∵0<p≤3,
∴p=3时,SABED有最大值为
点评:此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、图形面积的求法、直线与圆的位置关系等知识,难度适中.
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