分析 (1)根据正方形的性质求出点A、C的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)设P点的坐标为(m,-$\frac{1}{4}$m2+4),过点P作PN⊥y轴,根据抛物线上点的特征表示出PN、EN、PF的长,根据勾股定理求出PE,计算即可;
(3)根据勾股定理求出DE,确定若△PDE的周长最小,则必有PE+PD的值最小,求出周长的最小值,计算出FM:OM的值.
解答 解:(1)由题意得点A的坐标为(4,0),点D的坐标为(0,4),
则设抛物线的解析式为y y=ax2+4,
解得a=-$\frac{1}{4}$,
故抛物线的解析式为: y=-$\frac{1}{4}$x2+4;
(2)设P点的坐标为(m,-$\frac{1}{4}$m2+4),过点P作PN⊥y轴于点N,
则PN=m,EN=$\frac{1}{4}$m2-1,PF=4-(-$\frac{1}{4}$m2+4)=$\frac{1}{4}$m2.
在Rt△PEN中,由勾股定理得,PE2=PN2+NE2.
∴PE2=m2+($\frac{1}{4}$m2-1)2=m2+$\frac{1}{16}$m4-$\frac{1}{2}$m2+1=$\frac{1}{16}$m4+$\frac{1}{2}$m2+1=($\frac{1}{4}$m2+1)2.
∴PE=$\frac{1}{4}$m2+1,
∴PE-PF=$\frac{1}{4}$m2+1-$\frac{1}{4}$m2=1;
(3)△PDE的周长存在最小值.
∵△ODE是直角三角形,
∴由勾股定理DE=$\sqrt{O{D}^{2}+O{E}^{2}}$$\sqrt{10}$,
则若△PDE的周长最小,则必有PE+PD的值最小.
由(2)知PE-PF=1,即PE=PF+1,
∴PE+PD=PF+PD+1,
∴当PF+PD的值最小时,PE+PD的值最小,
由题意可知,当P,F,D三点在同一直线上时,PF+PD的值最小,此时PE+PD=4+1=5.
于是△PDE的周长的最小值为5+$\sqrt{10}$,
当P,F,D三点在同一直线上时,OM=$\sqrt{2}$,FM=4-1=3,
∴FM:OM的值为3:$\sqrt{2}$.
点评 本题考查的是二次函数的应用,掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键,解答时注意坐标与图形的关系、数形结合思想的正确运用.
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A. | a≥-2 | B. | a<-2 | C. | a≤-2 | D. | a>-2 |
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品名 | 销售价(元/条) |
羽绒被 | 415 |
羊毛被 | 150 |
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A. | $\left\{\begin{array}{l}{x>-3}\\{x>2}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{x<-3}\\{x<2}\end{array}\right.$ | C. | $\left\{\begin{array}{l}{x>-3}\\{x<2}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{x<-3}\\{x>2}\end{array}\right.$ |
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