Question

1．如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含点A，C），过P点作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为D（1，0），E（0，3）．连接DE，PD，PE，OB．
（1）请直接写该出抛物线的解析式；
（2）求PE-PF的值；
（3）若直线PF与OB相交于点M，试猜想：点P在运动过程中，△PDE的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值，并直接写出此时FM：OM的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质求出点A、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设P点的坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m²+4），过点P作PN⊥y轴，根据抛物线上点的特征表示出PN、EN、PF的长，根据勾股定理求出PE，计算即可；
（3）根据勾股定理求出DE，确定若△PDE的周长最小，则必有PE+PD的值最小，求出周长的最小值，计算出FM：OM的值．

解答 解：（1）由题意得点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，4），
则设抛物线的解析式为y y=ax²+4，
解得a=-$\frac{1}{4}$，
故抛物线的解析式为： y=-$\frac{1}{4}$x²+4；
（2）设P点的坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m²+4），过点P作PN⊥y轴于点N，
则PN=m，EN=$\frac{1}{4}$m²-1，PF=4-（-$\frac{1}{4}$m²+4）=$\frac{1}{4}$m²．
在Rt△PEN中，由勾股定理得，PE²=PN²+NE²．
∴PE²=m²+（$\frac{1}{4}$m²-1）²=m²+$\frac{1}{16}$m⁴-$\frac{1}{2}$m²+1=$\frac{1}{16}$m⁴+$\frac{1}{2}$m²+1=（$\frac{1}{4}$m²+1）²．
∴PE=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PE-PF=$\frac{1}{4}$m²+1-$\frac{1}{4}$m²=1；
（3）△PDE的周长存在最小值．
∵△ODE是直角三角形，
∴由勾股定理DE=$\sqrt{O{D}^{2}+O{E}^{2}}$$\sqrt{10}$，
则若△PDE的周长最小，则必有PE+PD的值最小．
由（2）知PE-PF=1，即PE=PF+1，
∴PE+PD=PF+PD+1，
∴当PF+PD的值最小时，PE+PD的值最小，
由题意可知，当P，F，D三点在同一直线上时，PF+PD的值最小，此时PE+PD=4+1=5．
于是△PDE的周长的最小值为5+$\sqrt{10}$，
当P，F，D三点在同一直线上时，OM=$\sqrt{2}$，FM=4-1=3，
∴FM：OM的值为3：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键，解答时注意坐标与图形的关系、数形结合思想的正确运用．