Question

抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得Q点到A点与C点的距离之和最短？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可将A、B两点的坐标代入抛物线中即可求出待定系数的值．也就能求出抛物线的解析式．
（2）本题的关键是确定Q点的坐标，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，因此连接BC，BC与对称轴的交点就是Q点的坐标，可先根据B、C的坐标确定出直线BC的解析式，然后根据抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．

解答：解：（1）将A、B两点坐标代入方程

-1-b+c=0 -9+3b+c=0

解得

b=2 c=3

．
∴y=-x²+2x+3．

（2）抛物线的对称轴上存在点Q使得△QAC的周长最小．
∵A点的对称点为B点，BC与x=1的交点就是Q点．
由（1）可知C点坐标为（0，3）
设BC方程为y=kx+b
将B、C两点坐标代入

0+b=3 3k+b=0

．
解得

k=-1 b=3

．
∴y=-x+3．
当x=1时，y=2△QAC的周长最小．
因此存在这样的Q点，且Q的坐标为（1，2）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用，（2）中确定Q点的位置是解题的关键．