Question

已知：△ABC中，∠A=64°，角平分线BP、CP相交于点P．

①若BP、CP是两内角的平分线，则∠BPC=________ （直接填数值），求证：∠BPC=90°+∠A；
②若BP、CP是两外角的平分线，则∠BPC=________ （直接填数值）；
③若BP、CP是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=________（直接填数值）；
④由①②③的数值计算可知：∠BPC与∠A有着密切的数量关系，请就第②③写出你的发现．

Answer 1

122°    58°    32°
分析：①根据三角形角平分线的性质可得，∠BPC+∠PCB=90°-∠A，根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°+∠A；
②根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-∠A；
③根据BP为∠ABC的角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠P=180°-∠4=∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），两式联立可得2∠P=∠A．
④根据前面的情况直接写出∠BPC与∠A的数量关系，
解答：证明：①∵在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠PBC+∠PCB=（180°-∠A）=×（180°-x°）=90°-∠A
故∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A；
则∠BPC=122°；
②∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；
则∠BPC=58°；
③如图：∵BP为∠ABC的角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点P，
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△CPE中，∠P=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠P=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠P=∠A．
则∠BPC=32°；
④若BP、CP是两外角的平分线，则∠BPC=90°-∠A；
若BP、CP是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=∠A．
故答案为：122°；58°；32°．
点评：此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．