已知,四边形ABCD是正方形,∠MAN= 45º,它的两边,边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H
(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明;
(2)如图2,已知∠BAC =45º,.AD⊥BC于点D,且BD =2,CD =3,求AD的长.
小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题。你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?
(1)答:AB=AH. ……………………1分
证明:延长CB至E使BE=DN,连结AE
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°
又∵AB=AD
∴△ABE≌△AEN(SAS)……………………3分
∴∠1=∠2,AE=AN
∵∠BAD=90°,∠MAN=45°
∴∠1+∠3=90°-∠MAN=45°
∴∠2+∠3=45°
即∠EAM=45°
又AM=AM
∴△EAM≌△NAM(SAS)……………………5分
又EM和NM是对应边
∴AB=AH(全等三角形对应边上的高相等)……………………6分
(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE,作△ACD关于直线AC的对称△ACF,
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴∠E=∠F=90°,
又∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
延长EB、FC交于点G,则四边形AEGF是矩形,
又AE=AD=AF
∴四边形AEGF是正方形……………………8分
由(1)、(2)知:EB=DB=2,FC=DC=3
设AD=,则EG=AE=AD=FG=
∴BG=-2;CG=-3;BC=2+3=5
在Rt△BGC中,……………………9分
解之 得,(舍去)
∴AD的长为6…………………………………………10分
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2 | 3 |
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AB |
a |
AD |
b |
OE |
1 |
6 |
a |
1 |
3 |
b |
1 |
6 |
a |
1 |
3 |
b |
a |
b |
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