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阅读:我们知道,在数轴上x=1表示一个点,而平面直角坐标系中,x=1表示一条直线;我们还知道,以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象,它也是一条直线,如图①.观察图①可以得出:直线x=1与直线y=2x+1的交P的坐标(1,3)就是方程组
x=1
2x-y+1=0
的解,所以这个方程组的解是
x=1
y=3
在直角坐标系中,x≤1表示一个平面区域,即直线x=1以及它的左侧部分,如图②;y≤2x+1也表示一个平面区域,即直线y=2x+1以及它的右下方的部分,如图③.
回答下列问题:
(1)在直角坐标系(图④)中,用作图象的方法求出方程组
x=-2
y=-2x+2
的解;
(2)用阴影部分表示不等式组
x≥-2
y≤-2x+2
y≥0
所围成的平面区域,并求围成区域的面积;
(3)现有一直角三角形(其中∠A=90°,AB=2,AC=4)小车沿x轴自左向右运动,当点A到达何位置时,小车被阴影部分挡住的面积最大?
分析:(1)用作图法来求方程组的解,可先分别作出方程组中两个函数x=-2和y=-2x+2的图象,然后在坐标系中找出交点的坐标,横坐标就是x的值,纵坐标就是y的值;
(2)直线x=-2以及它的右侧部分,直线y=-2x+2以及它的左下方的部分,x轴以及它的上方的部分,三者围成的三角形区域即为所求,或者是直线x=-2,y=-2x+2,y=0围成的三角形区域即为所求;根据三角形的面积公式即可求出围成区域的面积;
(3)设小车沿x轴自左向右运动,当点A的坐标为(a,0)时,小车被阴影部分挡住的面积最大.分五种情况:①-2≤a≤0;②0≤a≤1;③当1≤a≤2;④2≤a≤5;⑤a<-2或a>5,针对每一种情况,分别求出小车被阴影部分挡住的最大面积,然后比较,即可得出结果.
解答:解:(1)如图,由图象可得方程组的解是
x=-2
y=6


(2)不等式组
x≥-2
y≤-2x+2
y≥0
所围成的平面区域如图所示;
阴影部分的面积是
1
2
×6×3=9


(3)由题意,BC所在直线与二元一次方程2x+y-2=0所表示的直线垂直.
设小车沿x轴自左向右运动,当点A的坐标为(a,0)时,小车被阴影部分挡住的面积最大.分五种情况:
①当-2≤a≤0时,此时点A与原点重合时,小车被挡住的面积最大为
(1+2)×2
2
=3

②当0≤a≤1时,此时被挡住的面积为:
S=
1
2
10-2a
5
10-2a
2
5
-
2(1-a)(1-a)
2
-
(a-2)2
4
=
(a-5)2
5
-(a-1)2-
(a-2)2
4
=
-21a2+20a+60
20

∴当a=
10
21
Smax=
68
21

③当1≤a≤2时,此时被挡住的面积为:
S=
1
2
10-2a
5
-
10-2a
2
5
-
(a-2)2
4
=
(a-5)2
5
-
(a-2)2
4
=
-a2-20a+80
20

∴当a=1时Smax=
59
20

④当2≤a≤5时,此时点A与点(2,0)重合时,小车被挡住的面积最大为
9
5

⑤当a<-2或a>5时,小车与阴影无公共部分.
综上所述,当点A的坐标为(
10
21
,0)
时,小车被挡住的面积最大为
68
21
.(12分)
点评:本题考查了一次函数与方程组及不等式组之间的联系,一次函数、二次函数的性质及图形的面积等知识,有一定难度.问题(3)中能够将点A的横坐标正确分类是解题的关键.
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相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

请大家阅读下面两段材料,并解答问题:
材料1:我们知道在数轴上表示4和1的两点之间的距离为3,(如图)而|4-1|=3,所以在数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4-1|.
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再如在数轴上表示4和-2的两点之间的距离为6,(如图)
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而|4-(-2)|=6,所以数轴上表示数4和-2的两点之间的距离为|4-(-2)|.
根据上述规律,我们可以得出结论:在数轴上表示数a和数b两点之间的距离等于|a-b|(如图)
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材料2:如下左图所示大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,则阴影部分的面积可表示为:a2-b2
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将上图中的左图重新拼接成右图,则阴影部分的面积可表示为(a+b)(a-b),由此可以得到等式:a2-b2=(a+b)(a-b),
阅读后思考:
(1)试一试,求在数轴上表示的数5
2
3
-4
1
4
的两点之间的距离为
 

(2)请用材料2公式计算:(49
8
9
2-(49
1
9
2=
 

(3)上述两段材料中,主要体现了数学中
 
的数学思想.

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28、阅读下列材料:
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;
这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离;
在解题中,我们会常常运用绝对值的几何意义:
例1:解方程|x|=2.容易得出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的x=±2;
例2:解不等式|x-1|>2.如图,在数轴上找出|x-1|=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1,3,则|x-1|>2的解为x<-1或x>3;
例3:解方程|x-1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边.若x对应点在1的右边,如图可以看出x=2;同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3.故原方程的解是x=2或x=-3.
参考阅读材料,解答下列问题:
(1)方程|x+3|=4的解为
1或-7

(2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9;
(3)若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围.

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18、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;
这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1,x2对应点之间的距离;
例1解方程|x|=2,容易看出,在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2,即该方程的解为x=±2
例2解不等式|x-1|>2,如图,在数轴上找出|x-1|>2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1、3,则|x-1|>2的解为x<-1或X>3

参考阅读材料,解答下列问题:
不等式|x+3|>4的解为
x<-7或x>1

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31、阅读下列材料:我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1,x2对应点之间的距离;
例1.已知|x|=2,求x的值.
解:容易看出,在数轴上与原点距离为2点的对应数为-2和2,
即x的值为-2和2.
例2.已知|x-1|=2,求x的值.
解:在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和-1,
即x的值为3和-1.
仿照阅读材料的解法,求下列各式中x的值.
(1)|x|=3
(2)|x+2|=4.

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我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即|x|=|x-0|,也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广为:|x-y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离;在解题中,我们常常运用绝对值的几何意义.
①解方程|x|=2,容易看出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的解为x=±2.
②在方程|x-1|=2中,x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数,显然x=3或x=-1.
③在方程|x-1|+|x+2|=5中,显然该方程表示数轴上与1和-2的距离之和为5 的点对应的x值,在数轴上1和-2的距离为3,满足方程的x的对应点在1的右边或-2的左边.若x的对应点在1的右边,由图示可知,x=2;同理,若x的对应点在-2的左边,可得x=-3,所以原方程的解是x=2或x=-3.根据上面的阅读材料,解答下列问题:
(1)方程|x|=5的解是
x=±5
x=±5

(2)方程|x-2|=3的解是
x=5或-1
x=5或-1

(3)画出图示,解方程|x-3|+|x+2|=9.

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