Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（4，0），一次函数y=$\frac{4}{3}$x+3的图象分别交x轴，y轴于点A，点B．
（1）若点D是直线AB在第一象限内的点，且BD=BC，试求出点D的坐标．
（2）在（1）的条件下，若点Q是坐标轴上的一个动点，试探索在第一象限是否存在另一个点P，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形（BD为菱形的一边）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出OB=3，进而求出BC=5，再用勾股定理建立方程求出点D；
（2）分点Q在y轴和x轴，两种情况讨论，先利用菱形的性质求出BQ=5进而得出点Q的坐标，再利用菱形的对边平行即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，设点D（3a，4a+3），
过点D作DE⊥y轴于E，把x=0代入y=$\frac{4}{3}$x+3中，得，y=3，
∴OB=3，
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，（3a）²+（4a）²=5²，
∴a=±1，
∵点D在第一象限，
∴a=1，
∴D（3，7）；

（2）由（1）知，BD=BC=5，
①当点Q在y轴上时，
设Q（0，q），
∵使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形（BD为菱形的一边），且点P在第一象限内，
即：四边形BDPQ是菱形，
∴PQ∥BD，DP∥BQ，
∴点P的横坐标为3，
∵四边形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵B（0，3），
∴Q（0，8）或（0，-2），
Ⅰ、当点Q（0，8）时，
∵直线BD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+3，
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，
当x=3时，y=12，
∴P（3，12），
Ⅱ、点Q（0，-2）时，
∵直线BD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+3，
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-2，
当x=3时，y=2，
∴P（3，2），
②当点Q在x轴上时，
设Q（m，0），），
∵使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形（BD为菱形的一边），且点P在第一象限内，
即：四边形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵OB=3，
∴OQ=4，
∴Q（-4，0）或（4，0）
Ⅰ、当Q（-4，0）时，∵一次函数y=$\frac{4}{3}$x+3的图象交x轴于点A，
∴A（-$\frac{9}{4}$，0），
∴点Q在点A的左侧，
∴点P在第二象限内，不符合题意，舍去，
Ⅱ、当点Q（4，0）时，∵四边形BDPQ是菱形，
∴BQ∥DP，PQ∥BD，
∵直线BD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+3，
∴设直线PQ的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+b，
∴$\frac{4}{3}$×4+b=0，
∴b=-$\frac{16}{3}$，
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$①，
∵B（0，3），Q（4，0），
∴直线BQ的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵D（3，7），
∴直线DP的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{37}{4}$②，
联立①②解得，x=7，y=4，
∴P（7，4），
即：满足条件的点P的坐标为（3，12）、（3，2）、（7，4）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，勾股定理，分类讨论的思想，解（1）的关键是求出BC，解（2）的关键是分点Q在x轴和y轴进行讨论，是一道中等难度的中考常考题．