Question

【题目】问题背景：（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F。请按图示数据填空：四边形DBFE的面积______，△EFC的面积______，△ADE的面积______。

探究发现：（2）在（1）中，若， ，DE与BC间的距离为。请证明。

拓展迁移：（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积。

Answer 1

【答案】 6 9 1(2)见解析(3)18

【解析】整体分析：

（1）用面积公式分别求平行四边形DBFE的面积S，△EFC的面积S1，由相似三角形的面积比等于相似比的平方求得△ABC的面积，从而求得△ADE的面积；（2）根据△ADE∽△EFC，分别用a，b，h表示出S1，S2，S的面积可求解；（3）过点G作GH∥AB交BC于点H，由△DBE≌△GHF，得△GHC的面积，由（2）的结论得四边形DBHG的面积.

解：（1）6，9，1

（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC，

∴，∵，∴，

∴，而S=ah，∴S2=4S1S2；

（3）解：如图，过点G作GH∥AB交BC于点H，则四边形DBHG为平行四边形，

∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四边形DEFG为平行四边形，

∴DG=EF，∴BH=EF，∴BE=HF，

∴△DBE≌△GHF，∴△GHC的面积为5+3=8，

由（2）得，四边形DBHG的面积为，∴△ABC的面积为2+8+8=18。