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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D→A→B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC与P，交BD于点Q．
    （1）点D到BC的距离为______；
    （2）求出t为何值时，QM∥AB；
    （3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
    （4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形．
    （1）
    		3


    （2）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．
    BE=CF=
    BC-AD
    2
    =1．
    直角三角形CFD中，CF=1，CD=2，cos∠C=
    1
    2

    ∴∠C=60°，DF=
    		3
    ．
    ∴∠ABE=∠C=60°
    ∵QM∥AB
    ∴∠QMP=60°
    ∵BM=t，PF=ND=t，FC=1，BC=4
    ∴PM=3-2t，BP=3-t．
    直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=3-2t，QP=
    		3
    （3-2t）．
    ∵QP⊥BC，DF⊥BC
    ∴QP∥DF，
    ∴△BQP∽△BDF，
    ∴
    BP
    BF
    =
    QP
    DF
    ，即
    3-t
    3
    =
    		3
    (3-2t)
    		3

    ∴5t=6，即t=1.2（s）
    当t=1.2s时，QM∥AB

    （3）当0＜t≤2时，三角形BDF中，BF=3，DF=
    		3
    ，
    ∴BD=2
    		3

    三角形BCD中，CD=2，BD=2
    		3
    ，BC=4，
    因此BD2+CD2=BC2，
    即三角形BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∠DBC=30°．
    直角三角形BQP中，BP=3-t，∠DBC=30°，
    ∴PQ=
    		3
    3
    （3-t）
    因此：S=
    1
    2
    ×t×
    		3
    3
    （3-t）=-
    		3
    6
    t2+
    		3
    2
    t
    当2＜t＜4时，直角三角形NBP中，∠ABC=60°，BN=4-t，
    ∴BP=
    4-t
    2
    ．
    在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=
    4-t
    2
    ，
    ∴QP=
    		3
    (4-t)
    6

    因此：S=
    1
    2
    ×t×
    		3
    (4-t)
    6
    =-
    		3
    12
    t2+
    		3
    3
    t

    （4）当0＜t≤2时，即N在AD上时，分两种情况进行讨论：
    ①当∠BMQ=90°，即M与P点重合，那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
    解得：t=1.5s．
    ②当∠BQM=90°，在直角三角形NQD中，ND=t，∠ADB=∠DBC=30°，
    ∴NQ=
    		3
    3
    t．
    ∵NP=
    		3

    ∴QP=
    		3
    -
    		3
    3
    t
    在直角三角形BQM中，∠DBC=30°，BM=t
    ∴QM=
    1
    2
    t
    在直角三角形QPM中，∠QMP=60°，QM=
    1
    2
    t
    ∴QP=
    		3
    4
    t
    ∴
    		3
    -
    		3
    3
    t=
    		3
    4
    t．
    解得t=
    12
    7
    s．
    当2＜t＜4时，∠BQM=90°
    直角三角形BNP中，BN=4-t，∠ABC=60°，
    ∴BP=
    4-t
    2
    ，
    ∴PM=BM-BP=t-
    4-t
    2
    =
    3t-4
    2

    在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=
    4-t
    2

    ∴PQ=
    		3
    (4-t)
    6

    直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=
    3t-4
    2

    ∴PQ=
    		3
    (3t-4)
    2

    因此
    		3
    (4-t)
    6
    =
    		3
    (3t-4)
    2
    ，
    解得t=1.6s，与此时t的取值范围不符，
    因此这种情况不成立．
    综上所述，当t=1.5s或
    12
    7
    s，△BMQ是直角三角形．
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    （1）求A、B两点坐标；
    （2）求抛物线解析式及抛物线顶点D的坐标；
    （3）E（0，m）为y轴上一动点（不与点C重合）
    ①当直线EB与△BCD外接圆相切时，求m的值；
    ②指出点E的运动过程中，∠DEC与∠DBC的大小关系及相应m的取值范围．

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    （2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；
    （3）直线y=
    1
    2
    x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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    已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为2
    		2
    ，
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）设抛物线与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长．

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    （1）求这条抛物线的解析式；
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    ①求4x12-2x2n+6n+3的值；
    ②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是______．

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    （1）求D点的坐标；
    （2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
    （3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆O'恰好与⊙P相外切？若存在，求出其半径r及圆心O'的坐标；若不存在，请说明理由．

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    （1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标．
    （2）求△PAB的面积；
    （3）若将该抛物线先向左平移4个单位，再向上平移2个单位，求出平移后抛物线的解析式．

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    （1）求b的值及c的取值范围；
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