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(2012•南通)如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=
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x2+bx+c与x轴相交于B(-2,0),C两点,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y=
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x2+bx+c向上平移
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个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
分析:(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将A、B两点坐标代入即可得解.
(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,进而用m表示出该函数的顶点坐标,将其代入直线AB、AC的解析式中,即可确定P在△ABC内时m的取值范围.
(3)先在OA上取点N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB即可,显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例,先证△ABN、△AMB相似,然后通过相关比例线段求出AM的长.
解答:解:(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=
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x2+bx+c中,得:
0+c=-4
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×4-2b+c=0

解得:
b=-1
c=-4

故抛物线的解析式:y=
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x2-x-4.

(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:y=
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(x+m)2-(x+m)-4+
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,即:y=
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x2+(m-1)x+
1
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m2-m-
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它的顶点坐标P:(1-m,-1);
由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0);
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),把x=4,y=0代入,
∴4k+b=0,b=-4,
∴y=x-4.
同理直线AB:y=-2x-4;
当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=
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当点P在直线AC上时,(1-m)-4=-1,解得:m=-2;
∴当点P在△ABC内时,-2<m<
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又∵m>0,
∴符合条件的m的取值范围:0<m<
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(3)由A(0,-4)、C(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形;
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°;
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠NBA=∠OMB;
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN•AM1
易得:AB2=(-2)2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2;
∴AM1=20÷2=10;
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2.
综上,AM的长为10或2.
点评:考查了二次函数综合题,该函数综合题的难度较大,(3)题注意分类讨论,通过构建相似三角形是打开思路的关键所在.
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(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a=
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,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.

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