Question

【题目】已知在△ABC和△ABD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝CB，BD＝6cm，F为线段BD上一动点，以每秒1cm的速度从B匀速运动到D，过F作直线FQ⊥AF，且FQ＝AF，点Q在直线AF的右侧，设点F运动时间为t（s）．

（1）当△ABF为等腰三角形时，t＝　 　；

（2）当F点在线段BO上时，过Q点作QH⊥BD于点H，求证：△AOF≌△FHQ；

（3）当F点在线段OD上运动的过程中，△ABQ的面积是否变化？若不变，求出它的值．

Answer 1

【答案】（1）3s或6s；（2）见解析；（3）不变，9.

【解析】

（1）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求BF的长，即可求t的值；

（2）由等腰三角形的性质可得∠AOB＝90°，由“AAS”可证△AOF≌△FHQ；

（3）由“AAS”可证△AOF≌△FHQ，可得OF＝QH＝t﹣3，由面积的和差关系可求解．

解：（1）∵∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，

若AB＝AF时，即点F与点D重合，

∴BF＝BD＝6cm，

∴t＝＝6s，

若BF＝AF时，

∴∠ABF＝∠BAF＝45°，

∴∠AFB＝90°，

∴AF⊥BD，且AB＝AD

∴BF＝DF＝3cm，

∴t＝＝3s，

故答案为：3s或6s；

（2）如图1，

∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝CB，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∵AF⊥FQ，QH⊥BD，

∴∠AFQ＝∠FHQ＝90°，

∴∠QFH+∠FQH＝90°，∠AFO+∠QFH＝90°，

∴∠AFO＝∠FQH，AF＝FQ，∠AOF＝∠FHQ＝90°

∴△AOF≌△FHQ（AAS）；

（3）不变，

理由如下：如图2，过点Q作QH⊥BD，

∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝CB，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∵AF⊥FQ，QH⊥BD，

∴∠AFQ＝∠FHQ＝90°，

∴∠QFH+∠FQH＝90°，∠AFO+∠QFH＝90°，

∴∠AFO＝∠FQH，AF＝FQ，∠AOF＝∠FHQ＝90°

∴△AOF≌△FHQ（AAS）

∴OF＝QH＝t﹣3，

∵S△ABQ＝S△AOF+S△AFQ﹣S△BFQ＝BF×AO+×AF2﹣×BF×QH，

∴S△ABQ＝×t×3+ [32+（t﹣3）2]﹣×t×（t﹣3）＝9，

故△ABQ的面积不发生变化．