【题目】已知在△ABC和△ABD中,∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB=CB,BD=6cm,F为线段BD上一动点,以每秒1cm的速度从B匀速运动到D,过F作直线FQ⊥AF,且FQ=AF,点Q在直线AF的右侧,设点F运动时间为t(s).
(1)当△ABF为等腰三角形时,t= ;
(2)当F点在线段BO上时,过Q点作QH⊥BD于点H,求证:△AOF≌△FHQ;
(3)当F点在线段OD上运动的过程中,△ABQ的面积是否变化?若不变,求出它的值.
【答案】(1)3s或6s;(2)见解析;(3)不变,9.
【解析】
(1)分两种情况讨论,由等腰三角形的性质可求BF的长,即可求t的值;
(2)由等腰三角形的性质可得∠AOB=90°,由“AAS”可证△AOF≌△FHQ;
(3)由“AAS”可证△AOF≌△FHQ,可得OF=QH=t﹣3,由面积的和差关系可求解.
解:(1)∵∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°,
若AB=AF时,即点F与点D重合,
∴BF=BD=6cm,
∴t==6s,
若BF=AF时,
∴∠ABF=∠BAF=45°,
∴∠AFB=90°,
∴AF⊥BD,且AB=AD
∴BF=DF=3cm,
∴t==3s,
故答案为:3s或6s;
(2)如图1,
∵∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB=CB,
∴∠ABD=∠ADB=45°,∠BAC=∠ACB=45°,
∴∠AOB=90°,
∵AF⊥FQ,QH⊥BD,
∴∠AFQ=∠FHQ=90°,
∴∠QFH+∠FQH=90°,∠AFO+∠QFH=90°,
∴∠AFO=∠FQH,AF=FQ,∠AOF=∠FHQ=90°
∴△AOF≌△FHQ(AAS);
(3)不变,
理由如下:如图2,过点Q作QH⊥BD,
∵∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB=CB,
∴∠ABD=∠ADB=45°,∠BAC=∠ACB=45°,
∴∠AOB=90°,
∵AF⊥FQ,QH⊥BD,
∴∠AFQ=∠FHQ=90°,
∴∠QFH+∠FQH=90°,∠AFO+∠QFH=90°,
∴∠AFO=∠FQH,AF=FQ,∠AOF=∠FHQ=90°
∴△AOF≌△FHQ(AAS)
∴OF=QH=t﹣3,
∵S△ABQ=S△AOF+S△AFQ﹣S△BFQ=BF×AO+
×AF2﹣
×BF×QH,
∴S△ABQ=×t×3+
[32+(t﹣3)2]﹣
×t×(t﹣3)=9,
故△ABQ的面积不发生变化.
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【题目】某校八年级同学参加社会实践活动,到“庐江台湾农民创业园”了解大棚蔬菜生长情况.他们分两组对西红柿的长势进行观察测量,分别收集到10株西红柿的高度,记录如下(单位:厘米)
第一组:32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
第二组:51 56 44 46 40 53 37 47 50 46
根据以上数据,回答下列问题:
(1)第一组这10株西红柿高度的平均数是 ,中位数是 ,众数是 .
(2)小明同学计算出第一组方差为S12=122.2,请你计算第二组方差,并说明哪一组西红柿长势比较整齐.
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【题目】云南鲁甸6.5级地震后,空军某部奉命赴灾区空投救灾物资,已知物资离开飞机在空中沿抛物线降落,抛物线的顶点在机舱舱口点A处(如图所示).
(1)若物体离开A处后下落的竖直高度AB=160 m时,水平距离BC=200 m,那么要使飞机在竖直高度OA=1 km的空中空投的物资恰好落在居民点P处,求飞机到点P处的水平距离OP应为多少;
(2)根据当时的风力测算,空投物资离开A处的竖直距离为160 m时,它到A处的水平距离将增至400 m.要使飞机在(1)中的点O正上方空投物资到P处,飞机离地面的高度应为多少?
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【题目】银川九中要举办“不忘初心跟党走”2018年元旦合唱比赛,为迎接比赛,某校区七年级(3)(4)班决定订购同一套服装,两班一共有103人(三班人数多于四班),经协商,某服装店给出的价格如下:
购买人数/人 | 1~50人 | 50~100人 | 100以上人 |
每套服装价格/元 | 50 | 45 | 40 |
(1)如果两个班都以班为单位分别购买,则一共需花费4875元,那么三、四班各有多少名学生?
(2)如果两个班联合起来,做为一个整体购买,则能节省多少元钱?
(3)该服装店此次出售的服装每套成本是32元,如果按上面的第(2)问形式购买,请计算这个服装店此次出售服装的利润率是多少?
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【题目】在平面直角坐标系中,点A的坐标为,以线段OA为边作等边三角形
,使点B落在第四象限内,点C为x正半轴上一动点,连接BC,以线段BC为边作等边三角形
,使点D落在第四象限内.
(1)如图1,在点C运动的过程巾,连接AD.
①和
全等吗?请说明理由:
②延长DA交y轴于点E,若,求点C的坐标:
(2)如图2,已知,当点C从点O运动到点M时,点D所走过的路径的长度为_________
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【题目】节约是中华民族的传统美德.为倡导市民节约用水的意识,某市对市民用水实行“阶梯收费”,制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过立方米时,水价为每立方米
元,超过
立方米时,超过的部分按每立方米
元收费.
(1)该市某户居民9月份用水立方米(
),应交水费
元,请你用含
的代数式表示
;
(2)如果某户居民12月份交水费元,那么这个月该户居民用了多少立方米水?
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【题目】平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=6,BC=8,若△AOB是等腰三角形,则平行四边形ABCD的面积等于_______________________.
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【题目】如图,在矩形ABCO中,AO=3, OC=4,设D、E分别是线段AC、OC上的动点,它们同时出发,点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动,点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动(不包含A、C两个端点).当t=___________时,△ODE为直角三角形.
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【题目】某中学举办运动会,在1500米的项目中,参赛选手在200米的环形跑道上进行,下图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程(两人都跑完了全程),其中x代表的是最快的选手全程的跑步时间,y代表的是这两位选手之间的距离,下列说不合理的是()
A. 出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次;
B. 出发后最快的选手与最慢的选手第一次相遇比第二次相遇的用时短;
C. 最快的选手到达终点时,最慢的选手还有415米未跑;
D. 跑的最慢的选手用时.
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