Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．
（1）若AB=3，AD=$\sqrt{10}$，求△BMC的面积；
（2）点E为AD的中点时，求证：AD=$\sqrt{2}BN$．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABM≌△CAD，推出BM=AD=$\sqrt{10}$，推出AM=$\sqrt{B{M}^{2}-A{B}^{2}}$=1，推出CM=CA-AM=2，根据S_△BCM=$\frac{1}{2}$•CM•BA，计算即可；
（2）如图2中，连接EC、CN，作EQ⊥AC于Q，EP⊥BA于P．想办法证明△ENC是等腰直角三角形即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

在△ABM和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠ACD=90°}\\{AM=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAD，
∴BM=AD=$\sqrt{10}$，
∴AM=$\sqrt{B{M}^{2}-A{B}^{2}}$=1，
∴CM=CA-AM=2，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$•CM•BA=$\frac{1}{2}$•2•3=3．

（2）如图2中，连接EC、CN，作EQ⊥AC于Q，EP⊥BA于P．

∵AE=ED，∠ACD=90°，
∴AE=CE=ED，
∴∠EAC=∠ECA，
∵△ABM≌△CAD，
∴∠ABM=∠CAD，
∴∠ABM=∠MCE，
∵∠AMB=∠EMC，
∴∠CEM=∠BAM=90°，
∵△ABM∽△ECM，
∴$\frac{BM}{CM}$=$\frac{AM}{EM}$，
∴$\frac{BM}{AM}$=$\frac{CM}{EM}$，∵∠AME=∠BMC，
∴△AME∽△BMC，
∴∠AEM=∠ACB=45°，
∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，
∴∠PEQ=∠AEC，
∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，
∴△EPA≌△EQC，
∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC
∴BE平分∠ABC，
∴∠NBC=∠ABN=22.5°，
∵AH垂直平分BC，
∴NB=NC，
∴∠NCB=∠NBC=22.5°，
∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，
∴△ENC的等腰直角三角形，
∴NC=$\sqrt{2}$EC，∴AD=2EC，
∴2NC=$\sqrt{2}$AD，
∴AD=$\sqrt{2}$NC，
∵BN=NC，
∴AD=$\sqrt{2}$BN．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、线段的垂直平分线的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．