分析 (1)把二次函数解析式转化为两点式,易求得:B(3,0),C(8,0),作AE⊥OC于点E,构建相似三角形△ACE∽△BAE,由该相似三角形的对应边成比例求得AE=2.则点A的坐标是(4,2),然后将其代入抛物线来求n的值即可;
(2)依题意得:M(m,-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{11}{2}$m-12).根据点C、D的坐标易推知直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4,故N(m,$\frac{1}{2}$m-4).则线段MN的长度可以求得,则S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=-(m-5)2+9.根据二次函数的性质可以求得最值.
解答 解:(1)∵y=nx2-11nx+24n=n(x-3)(x-8),
∴B(3,0),C(8,0),
如图1,作AE⊥OC于点E.
∵△OAC为等腰三角形,
∴OE=EC=$\frac{1}{2}$×8=4,
∴BE=4-3=1.
又∵∠BAC=90°,
∴△ACE∽△BAE,
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$,即AE2=BE•CE=1×4=4,
∴AE=2.
则A(4,2).
将其代入抛物线y=nx2-11nx+24n,得
2=n•42-4×11n+24n,
解得n=-$\frac{1}{2}$.
故该抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{11}{2}$x-12;
(2)如图2,∵点M的横坐标为m,且点M在(1)中的抛物线上,
∴点M的坐标为(m,-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{11}{2}$m-12).
由(1)知,点D的坐标为(4,-2),
则直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4.
∴点N的坐标为(m,$\frac{1}{2}$m-4).
∴MN=(-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{11}{2}$m-12)-($\frac{1}{2}$m-4)=-$\frac{1}{2}$m2+5m-8,
∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=$\frac{1}{2}$MN•CE=$\frac{1}{2}$(-$\frac{1}{2}$m2+5m-8)×4=-(m-5)2+9.
∴当m=5时,四边形AMCN的面积取得最大值,为9.
点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.(2)中弄清线段MN长度的意义是解题的关键.
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A. | 1.65米是该班学生身高的平均水平 | B. | 班上比小华高的学生不会超过25人 | ||
C. | 这组身高的中位数不一定是1.65米 | D. | 这组身高的众数不一定是1.65米 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 8cm | B. | 10cm | C. | 12cm | D. | 16cm |
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