Question

2．阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根是x₁，x₂，则根与系数的关系为：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．已知p²-p-1=0，1-q-q²=0，且pq≠1，求$\frac{qp+1}{q}$的值．

Answer 1

分析 先把1-q-q²=0两边都除以q²得（$\frac{1}{q}$）²-（$\frac{1}{q}$）-1=0，则p和$\frac{1}{q}$可看作方程x²-x-1=0的两个根，根据根与系数的关系得到p+$\frac{1}{q}$=1，易得原式的值为1．

解答 解：∵1-q-q²=0，
∴（$\frac{1}{q}$）²-（$\frac{1}{q}$）-1=0，
而p²-p-1=0，
∴p和$\frac{1}{q}$可看作方程x²-x-1=0的两个根，
∴p+$\frac{1}{q}$=1，
∴$\frac{qp+1}{q}$=p+$\frac{1}{q}$=1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．