Question

18．如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，FN平分∠AFC交AC于点N，D为BC的中点，DM∥AC交AB于点M，连接DE、DF、EF、EM．对于以下结论：①DM=FN；②S_{四边形ACDM}=3S_△BDM；③DE=DF；④∠EFD=$\frac{1}{2}$∠EDF．其中正确结论的个数是
（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①正确．只要证明MD=$\frac{1}{2}$AC，FN=$\frac{1}{2}$AC即可．
②正确．由DM∥AC，推出△MBD∽ABC，由DM=$\frac{1}{2}$AC，推出S_△MBD=$\frac{1}{4}$S_△ABC，即可证明．
③正确．只要证明△EMD≌△DNF，即可推出DE=DF，
④正确．设DF与AC交于点K，由DM∥AC，推出∠AKF=∠MDF，即∠KFN+∠FNK=∠EDM+∠EDF，因为△EMD≌△DNF，∠FNK=90°，所以∠EDM=∠DFN，所以∠EDF=∠FNK=90°，即可证明．

解答 解：∵D是BC中点，DM∥AC
∴M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC；
∵三角形ABE是等腰直角三角形，FM平分∠AAFC交AC于点N，
∴N是AC的中点，
∴FN=$\frac{1}{2}$AC，
又∵DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DM=FN，
∴结论①正确；

∵DM∥AC，
∴△MBD∽ABC，
∵DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴S_△MBD=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_{四边形AMDC}=3S_△MBD
∴结论②正确；

∵D是BC中点，DM∥AC，
∴M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴FN=$\frac{1}{2}$AC，
又∵DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DM=FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∴∠AMD=∠AND，
又∵∠EMA=∠FNA=90°，
∴∠EMD=∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=DN}\\{∠EMD=∠DNF}\\{MD=NF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△DNF，
∴DE=DF，
∴结论③正确；

设DF与AC交于点K，
∵DM∥AC，
∴∠AKF=∠MDF，
∴∠KFN+∠FNK=∠EDM+∠EDF，
∵△EMD≌△DNF，∠FNK=90°
∴∠EDM=∠DFN，
∴∠EDF=∠FNK=90°，
∴DE⊥DF，
∴结论④正确．
∴正确的结论有4个：①②③④．
故选：D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质的应用、三角形中位线定理的应用、等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．